f- Zadanie 7: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Rozwiązanie (I sposób)

Założenia: $x, y \in R_{+}$ i $x^{2} + y^{2} = 2$
Teza: $x + y \leq 2$

Dowód:

$x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$
$2 = (x + y)^{2} - 2 x y$
$(x + y)^{2} = 2 + 2 x y = 2 (1 + x y)$

Gdyby $1 + x y \leq 2$ , to:
$(x + y)^{2} = 2 (1 + x y) \leq 2 \cdot 2 = 4$
$(x + y)^{2} \leq 4 ∣$
$∣ x + y ∣ \leq 2$
$x + y \leq 2$

Przekształćmy równoważnie tę nierówność:
$1 + x y \leq 2$
$x y \leq 1$
$2 x y \leq 2$
$2 x y \leq x^{2} + y^{2}$
$x^{2} + y^{2} - 2 x y \geq 0$
$(x - y)^{2} \geq 0$
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc prawdziwa jest nierówność $1 + x y \leq 2$ . Zatem prawdziwa jest nierówność z tezy: $x + y \leq 2$ . $■$