f- Zadanie 3: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ takich, że $x + y > 0$ i $x \neq = y$
prawdziwa jest nierówność
$x^{3} + y^{3} > x^{2} y + x y^{2} - x^{2}$

Rozwiązanie

Założenia: $x, y \in R$ , $x + y > 0$ , $x \neq = y$

Teza: $x^{3} + y^{3} > x^{2} y + x y^{2} - x^{2}$

Dowód:

Przekształcamy równoważnie tezę:

x^{3} + y^{3} > x^{2} y + x y^{2} - x^{2}

x^{3} + y^{3} - x^{2} y - x y^{2} + x^{2} > 0

x^{3} - x^{2} y + y^{3} - x y^{2} + x^{2} > 0

x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) + x^{2} > 0

(x - y) (x^{2} - y^{2}) + x^{2} > 0

(x - y) (x - y) (x + y) + x^{2} > 0

(x - y)^{2} (x + y) + x^{2} > 0

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem $(x - y)^{2} \geq 0$ , ale $x \neq = y$ , więc $x - y \neq = 0$ , czyli $(x - y)^{2} > 0$ .
Z założenia wiemy, że $x + y > 0$ .
Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, więc $(x - y)^{2} (x + y) > 0$ . Dodatkowo $x^{2} \geq 0$ .