Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $\mathbf{x}$ spełniona jest nierówność

${\mathbf{x}}^4-{\mathbf{x}}^2-4\mathbf{x}+6>0$

Rozwiązanie

Założenie: $x\in \mathbb{R}$

Teza: $x^4-x^2-4x+6>0$

Dowód:

Przekształcamy równoważnie tezę:
$x^4-x^2-4x+6>0$
$x^4-x^2-4x+4+2>0$
${\left(x^2\right)}^2-2x^2+x^2-4x+4+1+1>0$
${\left(x^2\right)}^2-2x^2+1+x^2-2\cdot 2\cdot x+2^2+1>0$
${\left(x^2-1\right)}^2+{\left(x-2\right)}^2+1>0$

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem ${\left(x^2-1\right)}^2\ge 0$ i ${\left(x-2\right)}^2\ge 0$. Suma liczb nieujemnych i liczby dodatniej jest dodatnia, więc potwierdzamy nierówność z tezy.  $■$