Zatem:                                                                 

• dla $x=1$: $f^{\prime }(x)=0$
• dla $x\in \left(-\infty ,1\right)$: $f^{\prime }(x)<0$
• dla $x\in \left(1,\infty \right)$: $f^{\prime }(x)>0$

W związku z tym funkcja $f$:

• jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ,1\right]$  
• jest rosnąca w przedziale $\left[1,\infty \right)$

Zatem funkcja $f$ osiąga minimum lokalne w $x=1$ i jednocześnie jest ono najmniejszą wartością funkcji $f$.

Obliczmy tę najmniejszą wartość:
$f(x)=x^4-x^2-2x+3$
$f(1)=1^4-1^2-2\cdot 1+3=1$

Najmniejsza wartość funkcji $f$ to $1>0$. Zatem $x^4-x^2-2x+3>0$ dla $x\in \mathbb{R}$.                       $■$