Rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z wykorzystaniem funkcji kwadratowej
1. Wyznaczamy wzór funkcji kwadratowej w zależności od jednej zmiennej.
2. Określamy dziedzinę tej funkcji.
3. W dziedzinie funkcji szukamy takiego argumentu, dla którego funkcja osiąga wartość najmniejszą / największą.
4. Obliczamy to, o co jesteśmy pytani w zadaniu, i podajemy odpowiedź.

Zadanie. Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$  jest równa $2$.
Wyznacz wartości liczb $x$ i $y$, dla których wartość wyrażenia $x^2+y^2+xy$ jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość.

Rozwiązanie

$y=2-x\to x^2+y^2+xy=\underset{f(x)}{\underbrace{x^2+{\left(2-x\right)}^2+x\left(2-x\right)}}$          $\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\to \{\begin{array}{c}x\ge 0\\ 2-x\ge 0\end{array}\to \{\begin{array}{c}x\ge 0\\ x\le 2\end{array}\to D_f=\left[0,2\right]$
$f\left(x\right)=x^2+{\left(2-x\right)}^2+x\left(2-x\right)=x^2+4-4x+x^2+2x-x^2=x^2-2x+4$            $p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2}=1\in D_f$
Wykresem funkcji $f$ jest fragment paraboli, której ramiona są skierowane do góry.
Najmniejszą wartość funkcja $f$ osiąga dla argumentu $p=1$.
$f(1)=12-2\cdot 1+4=3$, $x=1\to y=2-x=1$
Odp.: Najmniejsza wartość wyrażenia $x^2+y^2+xy$ jest równa $3$ dla $x=1$ i $y=1$.