Rozwiązanie

$P\left(x\right)=-14x^2+252x$

$x>0$    i    $H>0$
$x>0$    i    $42-3x>0$
$x>0$    i    $x<14$
$D_P=\left(0,14\right)$

Wykresem funkcji $P$ jest fragment paraboli, której ramiona są skierowane w dół.
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli: $p=-\frac{b}{2a}=-\frac{252}{2\cdot \left(-14\right)}=-\frac{252}{-28}=9\in D_P$
Funkcja $P$ osiąga największą wartość dla argumentu $p=9$.
$P\left(9\right)=-14\cdot 9^2+252\cdot 9=1134$
$x=9$
$2x=18$
$H=42-3x=42-3\cdot 9=42-27=15$

Odp.: Rozważany prostopadłościan o największym całkowitym polu powierzchni równym $1134$ ma wymiary $9\times 18\times 15$.