Podczas tej lekcji 

• dowiesz się, ile miejsc zerowych może mieć funkcja kwadratowa
• nauczysz się wyznaczać miejsca zerowe funkcji kwadratowej
• poznasz postać iloczynową wzoru funkcji kwadratowej

---

Definicja

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego $y=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$ nazywamy wyrażenie $\Delta =b^2-4ac$.

Twierdzenie 

Funkcja kwadratowa $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ma dwa różne miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta >0$. Są one równe

$\begin{array}{ccc}{x}_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}& \text{i}& x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\end{array}$

---

Definicja

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego $y=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$ nazywamy wyrażenie $\Delta =b^2-4ac$.

Twierdzenie 

Funkcja kwadratowa $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ma jedno miejsce zerowe $x_0$wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta =0$. Jest ono równe

$x_0=\frac{-b}{2a}$

---

Definicja

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego $y=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$ nazywamy wyrażenie $\Delta =b^2-4ac$.

Twierdzenie 

Funkcja kwadratowa $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta <0$. 

---

Przykład 1. Wyznacz (o ile istnieją) miejsca zerowe funkcji kwadratowej$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-x-4$.

Rozwiązanie:

$\begin{array}{ccc}a=\frac{1}{2}& b=-1& c=-4\end{array}$ 

$\Delta =b^2-4ac={\left(-1\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)=1+8=9$

$\Delta >0$ - funkcja $f$ ma dwa różne miejsca zerowe

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$

$x_1=\frac{-\left(-1\right)-3}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1-3}{1}=-2$

$x_2=\frac{-\left(-1\right)+3}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1+3}{1}=4$

Odp. Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe: $\left(-2\right)$ i $4$.

---

Twierdzenie 

Dana jest funkcja kwadratowa $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$.

• Jeżeli $\Delta >0$, to wzór tej funkcji można przedstawić w postaci iloczynowej $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x_{}-x_2\right)$, gdzie $x_1$, $x_2$są miejscami zerowymi tej funkcji.
• Jeżeli $\Delta =0$, to wzór tej funkcji można przedstawić w postaci iloczynowej $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2$, gdzie $x_0$ jest jedynym miejscem zerowym tej funkcji.
• Jeżeli $\Delta <0$, to wzoru tej funkcji nie można przedstawić w postaci iloczynowej.

---

Przykład 2.  Korzystając z informacji o miejscach zerowych funkcji kwadratowej $f$, znajdź postać iloczynową (o ile istnieje) wzoru tej funkcji. Uzupełnij tabelę.

Postać ogólna wzoru funkcji	Znak wyróżnika $\Delta$	Miejsca zerowe	Postać iloczynowa wzoru funkcji
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-x-4$	$\Delta >0$	$x_1=-2,x_2=4$	$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x+2\right)\left(x-4\right)$
$f\left(x\right)=-2x^2+12x-18$	$\Delta =0$	$x_0=3$	$f\left(x\right)=-2{\left(x-3\right)}^2$
$f\left(x\right)=x^2+5$	$\Delta <0$	brak	nie istnieje

---

Zadanie 1.  Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 
Funkcja $f$ jest określona wzorem

A. $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}\left(x-5\right)\left(x+1\right)$ 

B. $f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x+5\right)\left(x-1\right)$ 

C. $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}\left(x+5\right)\left(x-1\right)$ 

D. $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}\left(x-5\right)\left(x+1\right)$  

---

Zadanie 2.  Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=3\left(x+6\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)$.  Liczby $x_1$ i $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $f$.
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowane miejsca tak, aby zdanie było prawdziwe.
Suma liczb $x_1$ i $x_2$ jest równa ................ , a iloczyn liczb $x_1$ i $x_2$ wynosi ............... .

---

Zadanie 3.  Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=-4x^2+bx+3$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Współczynnik $b$ jest liczbą rzeczywistą większą od zera.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Funkcja $f$

A.	ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,	ponieważ	1.	$b^2+48<0$.
B.	ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,		2.	$b^2+48=0$.
C.	nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,		3.	$b^2+48>0$.

 

---

Zadanie 4. Na jednym z rysunków A -D, w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$, przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=-\left(x-2\right)\left(6-x\right)$. 
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Fragment wykresu funkcji $f$ przedstawiono na rysunku

---

Zadanie 5. Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=2x^2+bx+c$ i przyjmuje wartości ujemne tylko dla $x\in (-1,5)$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Podstać iloczynowa funkcji $f$ wyraża się wzorem $f\left(x_{}\right)=2\left(x+1\right)\left(x-5\right)$.	P	F
Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest równy $18$.	P	F