Oblicz wartość wyrażenia:

${\log }_{64}{5}^{5{\log }_{5}4-{\log }_{25}16-{\log }_{125}64}$

Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$5{\log }_{5}4-{\log }_{25}16-{\log }_{125}64={\log }_5{4}^5-{\log }_{5^2}{4}^2-{\log }_{5^3}{4}^3=$
$={\log }_5{4}^5-\frac{1}{2}{\log }_5{4}^2-\frac{1}{3}{\log }_5{4}^3={\log }_5{4}^5-{\log }_{5}4-{\log }_{5}4=$
$={\log }_5\left(4^5:4:4\right)={\log }_5{4}^3={\log }_{5}64$

${\log }_{64}{5}^{5{\log }_{5}4-{\log }_{25}16-{\log }_{125}64}={\log }_{64}{5}^{{\log }_{5}64}={\log }_{64}64=1$

Odp.: Podane wyrażenie ma wartość równą $1$.