Potęgą o wykładniku całkowitym ujemnym $(-\mathbf{n})$, gdzie $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ i podstawa $a\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$, nazywamy liczbę $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, co możemy zapisać również jako $a^{-n}={\left(\frac{1}{a}\right)}^n$.

Potęga o wykładniku wymiernym

Niech $m\in {\mathbb{N}}_{+}$ i $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. Wtedy:

• dla $a\ge 0$ mamy $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

• dla $a\ge 0$ mamy $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
• dla $a>0$ mamy $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

Przykład 1. Oblicz:

a) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$
b) $25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5$
c) ${\left(\frac{1}{64}\right)}^{-\frac{2}{3}}=64^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2=4^2=16$