Dane są liczby $x=\frac{8^{66}\cdot \sqrt[3]{4^{-301}}}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{14}{3}}}$ oraz $y=\frac{625^{-1}\cdot \sqrt{5}}{125^{-2}\cdot \sqrt[4]{25}}$.
Uzasadnij, która liczba jest większa: $\mathbf{x}$, czy $\mathbf{y}$.

Rozwiązanie

$x=\frac{8^{66}\cdot \sqrt[3]{4^{-301}}}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{14}{3}}}=\frac{{\left(2^3\right)}^{66}\cdot \sqrt[3]{{\left(2^2\right)}^{-301}}}{{\left(2^{-1}\right)}^{\frac{14}{3}}}=\frac{2^{198}\cdot \sqrt[3]{2^{-602}}}{2^{-\frac{14}{3}}}=\frac{2^{\frac{594}{3}}\cdot 2^{-\frac{602}{3}}}{2^{-\frac{14}{3}}}=\frac{2^{-\frac{8}{3}}}{2^{-\frac{14}{3}}}=$
$=2^{-\frac{8}{3}-\left(-\frac{14}{3}\right)}=2^{-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}}=2^{\frac{6}{3}}=2^2=4$

$y=\frac{625^{-1}\cdot \sqrt{5}}{125^{-2}\cdot \sqrt[4]{25}}=\frac{{\left(5^4\right)}^{-1}\cdot 5^{\frac{1}{2}}}{{\left(5^3\right)}^{-2}\cdot 5^{\frac{2}{4}}}=\frac{5^{-4}\cdot 5^{\frac{1}{2}}}{5^{-6}\cdot 5^{\frac{1}{2}}}=\frac{5^{-3\frac{1}{2}}}{5^{-5\frac{1}{2}}}=5^{-3\frac{1}{2}-\left(-5\frac{1}{2}\right)}=5^{-3\frac{1}{2}+5\frac{1}{2}}=5^2=25$

$4<25$
więc
$x<y$

Odp.: Liczba $y$ jest większa od $x$.