Dane są liczby $a=\frac{3\sqrt[3]{16}}{8\sqrt[3]{9}}:\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{27}}}$ oraz $b=\frac{2}{\sqrt{1,(7)}}$.
Podaj wartość wyrażenia ${\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$\frac{3\sqrt[3]{16}}{8\sqrt[3]{9}}=\frac{3\sqrt[3]{2^3\cdot 2}}{8\sqrt[3]{3^2}}=\frac{3\cdot 2\sqrt[3]{2}}{8\sqrt[3]{3^2}}\cdot \frac{\sqrt[3]{3^{}}}{\sqrt[3]{3}}=\frac{3\cdot \sqrt[3]{6}}{4\cdot 3}=\frac{\sqrt[3]{6}}{4}$

$\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{27}}}=\sqrt[3]{2\sqrt{3\cdot 3}}=\sqrt[3]{2\cdot 3}=\sqrt[3]{6}$

$a=\frac{3\sqrt[3]{16}}{8\sqrt[3]{9}}:\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{27}}}=\frac{\sqrt[3]{6}}{4}:\sqrt[3]{6}=\frac{\sqrt[3]{6}}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{6}}=\frac{1}{4}$

$0,(7)=0,7777\dots =x$ $0,7777\dots =x|\cdot 10$ $7,7777\dots =10x|-x$ $7=9x|:9$ $x=\frac{7}{9}⟶0,(7)=\frac{7}{9}$

$b=\frac{2}{\sqrt{1,(7)}}=\frac{2}{\sqrt{1\frac{7}{9}}}=\frac{2}{\sqrt{\frac{16}{9}}}=2:\frac{4}{3}=2\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2}$ $a^b={\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{\frac{1}{4}}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$           Odp.: $a^b=\frac{1}{8}$