Wzór na zamianę podstawy logarytmu

Dla $a\in {\mathbb{R}}_{+}\setminus \left\{1\right\}$, $b\in {\mathbb{R}}_{+}\setminus \left\{1\right\}$ i $c\in {\mathbb{R}}_{+}$ mamy:

${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}$

Szczególny przypadek:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{b}b}{{\log }_{b}a}=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

Wzór na wyłączenie przed logarytm wykładnika podstawy 

Dla $a\in {\mathbb{R}}_{+}\setminus \left\{1\right\}$, $b\in {\mathbb{R}}_{+}$ i $n\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$ mamy:

${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

Przykład 3. Zamień podaną liczbę na logarytm o podstawie $2$.

I sposób                                                                                II sposób
${\log }_{8}5=\frac{{\log }_{2}5}{{\log }_{2}8}=\frac{{\log }_{2}5}{3}=\frac{1}{3}{\log }_{2}5={\log }_2\sqrt[3]{5}$                     ${\log }_{8}5={\log }_{2^3}5=\frac{1}{3}{\log }_{2}5={\log }_2\sqrt[3]{5}$