Rozwiązanie:

Siłę ciężkości ciała na powierzchni Marsa wyrażamy jako:

$F_{\text{c}}=m{g}_{\text{M}}$

gdzie:

$F_{\text{c}}$ – wartość siły ciężkości

$m$ – masa ciała

$g_{\text{M}}$ – wartość przyspieszenia grawitacyjnego Marsa

 

 

 

Stosunek siły ciężkości na biegunie i na równiku będzie dany jako:

$\frac{F_{\text{c.b}}}{F_{\text{c.r}}}=\frac{m{g}_{\text{M.b}}}{m{g}_{\text{M.r}}}$

x

$\frac{F_{\text{c.b}}}{F_{\text{c.r}}}=\frac{\cancel{m}{g}_{\text{M.b}}}{\cancel{m}{g}_{\text{M.r}}}$

$\frac{g_{\text{M.b}}}{g_{\text{M.r}}}=\frac{F_{\text{c.b}}}{F_{\text{c.r}}}$

x

Rozpatrujemy najpierw sytuację ciała położonego na biegunie Marsa.

$F_{\text{N.b}}=F_{\text{g}}$

Wartość siły nacisku jest równa wartości siły ciężkości:

$F_{\text{c.b}}=F_{\text{N.b}}$

Stąd:

$F_{\text{c.b}}=F_{\text{g}}$

x

Teraz rozpatrujemy ciało położone na równiku Marsa.

$F_{\text{d.r}}=F_{\text{g}}-F_{\text{N.r}}$

Stąd:

$F_{\text{N.r}}=F_{\text{g}}-F_{\text{d.r}}$

Wartość siły nacisku jest równa wartości siły ciężkości:

$F_{\text{c.r}}=F_{\text{N.r}}$

Zatem:

$F_{\text{c.r}}=F_{\text{g}}-F_{\text{d.r}}$

x

Otrzymujemy:

$\frac{g_{\text{M.b}}}{g_{\text{M.r}}}=\frac{F_{\text{g}}}{F_{\text{g}}-F_{\text{d.r}}}$

$\frac{g_{\text{M.b}}}{g_{\text{M.r}}}=\frac{1}{1-\frac{F_{\text{d.r}}}{F_{\text{g}}}}$

Musimy wyznaczyć stosunek sił:

$\frac{F_{\text{d.r}}}{F_{\text{g}}}=?$

 

Wartość siły grawitacji na Marsie wyrazimy jako:

$F_{\text{g}}=G\frac{Mm}{R^2}$

gdzie:

$F_{\text{g}}$ – wartość siły grawitacji

$G$ – stała grawitacji

$M$ – masa Marsa

$m$ – masa ciała

$R$ – promień Marsa

x

Wartość siły dośrodkowej na równiku wyrazimy jako:

$F_{\text{d.r}}=\frac{m{v}^2}{R}$

gdzie:

$F_{\text{d.r}}$ – wartość siły dośrodkowej na równiku

$m$ – masa ciała

$v$ – wartość prędkości ciała

$R$ – promień zataczanego okręgu

x

Wartość prędkości w ruchu po okręgu jest równa:

$v=\frac{2\pi R}{T}$

gdzie:

$v$ – wartość prędkości ciała

$R$ – promień okręgu

$T$ – okres ruchu

x

Zatem:

$F_{\text{d.r}}=\frac{m{\left(\frac{2\pi R}{T}\right)}^2}{R}$

$F_{\text{d.r}}=\frac{m\frac{4{\pi }^2{R}^2}{T^2}}{R}$

$F_{\text{d.r}}=\frac{4{\pi }^{2}mR}{T^2}$

x

Mamy więc:

$F_{\text{g}}=G\frac{Mm}{R^2}$

$F_{\text{d.r}}=\frac{4{\pi }^{2}mR}{T^2}$

Otrzymujemy:

$\frac{F_{\text{d.r}}}{F_{\text{g}}}=\frac{\frac{4{\pi }^{2}mR}{T^2}}{G\frac{Mm}{R^2}}$

$\frac{F_{\text{d.r}}}{F_{\text{g}}}=\frac{4{\pi }^2{R}^3}{GM{T}^2}$

Obliczamy:

$\frac{F_{\text{d.r}}}{F_{\text{g}}}=\frac{4\cdot 3,14^2\cdot {\left(3,39\cdot 10^6\mathrm{m}\right)}^3}{6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}\cdot 6,4\cdot 10^{23}\mathrm{kg}\cdot {\left(8,862\cdot 10^4\mathrm{s}\right)}^2}=\frac{39,4384\cdot 38,958219\cdot 10^{18}{\mathrm{m}}^3}{42,688\cdot 10^{12}\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{kg}}\cdot 78,535044\cdot 10^8{\mathrm{s}}^2}\approx$

$\approx \frac{1536,4498\cdot 10^{18}}{3352,504\cdot 10^{20}}\approx 0,4583\cdot 10^{-2}=0,004583$

x

$\frac{g_{\text{M.b}}}{g_{\text{M.r}}}=\frac{1}{1-\frac{F_{\text{d.r}}}{F_{\text{g}}}}$

$\frac{g_{\text{M.b}}}{g_{\text{M.r}}}=\frac{1}{1-0,004583}=\frac{1}{0,995417}\approx 1,0046$

x