Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na energię początkową stanu wzbudzonego atomu wodoru. Znamy długości fal kwantów wypromieniowanych w poszczególnych przejściach. Ponadto możemy wykorzystać takie stałe jak stała Plancka, wartość prędkości światła w próżni, czyli wartość energii atomu wodoru w stanie podstawowym.  

 

Wiemy, że wzbudzony atom wodoru powraca do stanu podstawowego z wypromieniowaniem dwóch kwantów promieniowania o długościach ${\lambda }_1$ i ${\lambda }_2$. Oznacza to, że w atomie wodoru elektron powracając do stanu podstawowego przechodzi najpierw do pewnego stanu pośredniego wypromieniowując kwant promieniowania o długości ${\lambda }_1$. Następnie z tego stanu pośredniego przechodzi do stanu podstawowego wypromieniowując przy tym kwant promieniowania o długości ${\lambda }_2$. 

Na schemacie poszczególne stanu energetyczne to:

$E_0$ - stan podstawowy, 

$E_1$ - stan pośredni, 

$E_2$ - stan wzbudzony, na którym szukamy energii. 

W ogólnym przypadku energię wyemitowanego fotonu obliczymy ze wzoru:

$E_f=\frac{hc}{\lambda }$

gdzie:

$E_f$ - energia fotonu, 

$h$ - stała Plancka, 

$c$ - wartość prędkości światła, 

$\lambda$ - długość fali światła. 

Energia niesiona przez kwant promieniowania przy przejściu ze stanu wzbudzonego do stanu pośredniego będzie miała postać:

$\Delta E_1=\frac{hc}{{\lambda }_1}$

gdzie:

$\Delta E_1$ - różnica energii pomiędzy stanem wzbudzonym, a stanem pośrednim, 

${\lambda }_1$ - długość fali wypromieniowanej przy przejściu ze stanu wzbudzonego do stanu pośredniego. 

Energia niesiona przez kwant promieniowania przy przejściu ze stanu pośredniego do stanu podstawowego będzie miała postać:

$\Delta E_2=\frac{hc}{{\lambda }_2}$

gdzie:

$\Delta E_2$ - różnica energii pomiędzy stanem pośrednim, a podstawowym, 

${\lambda }_2$ - długość fali wypromieniowanej przy przejściu ze stanu pośredniego do stanu podstawowego. 

Energia jaką niosą ze sobą kwanty promieniowania będzie również odpowiadała różnicy energii pomiędzy poszczególnymi poziomami energetycznymi. Oznacza to, że energię wypromieniowanego kwantu o długości fali ${\lambda }_1$ możemy przedstawić wzorem:

$\Delta E_1=E_2-E_1$

gdzie:

$E_2$ - energia atomu wodoru w stanie wzbudzonym, 

$E_1$ - energia atomu wodoru w stanie pośrednim.

Natomiast dla wypromieniowanego kwantu o długości fali ${\lambda }_2$ możemy przedstawić wzorem:

$\Delta E_2=E_1-E_0$

gdzie:

$E_0$ - energia atomu wodoru w stanie podstawowym (stała znana ogólnie wielkość). 

Wyznaczmy zależność, którą możemy opisać energię w stanie pośrednim za pomocą znanych nam wielkości:

$E_1-E_0=\Delta E_2$

$E_1-E_0=\frac{hc}{{\lambda }_2}|+E_0$

$E_1=\frac{hc}{{\lambda }_2}+E_0$

Wówczas energia w stanie wzbudzonym będzie miała postać:

 $E_2-E_1=\Delta E_1$

$E_2-E_1=\Delta E_1|+E_1$

$E_2=\Delta E_1+E_1$

$E_2=\frac{hc}{{\lambda }_1}+\frac{hc}{{\lambda }_2}+E_0$

$E_2=hc\left[\frac{1}{{\lambda }_1}+\frac{1}{{\lambda }_2}\right]+E_0$ 

 

Wzór na energię początkową stanu wzbudzonego atomu wodoru ma postać:

$E_2=hc\left[\frac{1}{{\lambda }_1}+\frac{1}{{\lambda }_2}\right]+E_0$