Dane:

$m=420\text{g}=0,42\text{kg}$  

$r=11\text{cm}=0,11\text{m}$  

$\alpha =5^{\circ }$  

$s=100\text{m}$  

$v_p=0$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$ . 

Szukane:

$\epsilon =\text{?}$  

$a=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Zgodnie z treścią zadania mamy rozważyć sytuację, w której piłeczka stacza się z pochylni nachylonej pod kątem  $\alpha$  . Oznaczmy więc wszystkie siły jakie działają na staczającą się bez poślizgu kulę z pochylni:

gdzie:

${\overrightarrow{F}}_c$  - siła ciężkości,

${\overrightarrow{F}}_R$  - siła reakcji podłoża,

${\overrightarrow{F}}_{\perp },{\overrightarrow{F}}_{\mid \mid }$  - składowe siły ciężkości,

$\overrightarrow{T}$  - siła tarcia.

Wartość siły ciężkości kulki opisuje wzór:

$F_c=mg$  

gdzie:

$F_c$ - wartość siły ciężkości,

$m$  - masa kulki,

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego.

 

Korzystając z rysunków oraz z funkcji trygonometrycznych możemy wyznaczyć wzory na wartości składowych siły ciężkości:

▶ Składowa równoległa do nachylonej pochylni:

$\frac{F_{\mid \mid }}{F_c}=\sin \alpha \text{|}\cdot F_c$  

$F_{\mid \mid }=F_c\sin \alpha$  

$F_{\mid \mid }=mg\sin \alpha$  

▶ Składowa prostopadła do nachylonej pochylni:

$\frac{F_{\perp }}{F_c}=\cos \alpha \text{|}\cdot F_c$  

$F_{\perp }=F_c\cos \alpha$  

$F_{\perp }=mg\cos \alpha$  

 

Zauważmy, że kula porusza się z:

1. przyspieszeniem liniowym,
2. przyspieszeniem kątowym.

Przyspieszenie liniowe

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona w ruchu postępowym ciało porusza się z pewnym przyspieszeniem jeżeli działa na niego niezerowa wypadkowa siła  $F_w$  . Wartość przyspieszenia opisuje wzór:

$a=\frac{F_w}{m}$  

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$F_w$  - wartość wypadkowej siły,

$m$  - masa ciała.

W naszym przypadku, zgodnie z rysunkiem, siłą wypadkową, która powoduje ruch przyspieszony kulki jest wypadkowa siły  ${\overrightarrow{F}}_{\mid \mid }$  oraz siły tarcia:

${\overrightarrow{F}}_w={\overrightarrow{F}}_{\mid \mid }-\overrightarrow{T}$  

Wartość ten siły opisuje wzór:

$F_w=F_{\mid \mid }-T$  

$F_w=mg\sin \alpha -T$  

 

Zatem wzór na wartość przyspieszenia jakim porusza się ciało w ruchu postępowym przyjmuję postać:

$a=\frac{F_w}{m}$  

$a=\frac{mg\sin \alpha -T}{m}$  

 

Przyspieszenie kątowe

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, ale w ruchu obrotowym ciało porusza się ruchem przyspieszonym tzn. z przyspieszeniem kątowym, jeżeli na ciało działa niezerowy moment siły.

Momentem siły $\overrightarrow{F}$  działającym w punkcie P względem punktu O nazywamy wielkość wektorową $\overrightarrow{M}$  zdefiniowaną jako iloczyn wektorowy wektora położenia punktu P względem punktu O i wektora siły $\overrightarrow{F}$ :

$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$  

gdzie:

$\overrightarrow{M}$  - wektor momentu siły, 

$\overrightarrow{r}$  - wektor położenia (nazywany również ramieniem siły),

$\overrightarrow{F}$  - wektor siły. 

Wartość momentu siły będzie miała postać:

$M=rF\sin \alpha$  

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły,

$r$  - odległość punktu przyłożenia siły od środka ciała,

$F$  - wartość przyłożonej siły,

$\alpha$   - kąt pomiędzy przedłużeniem wektora położenia  $\overrightarrow{r}$  i wektorem siły  $\overrightarrow{F}$ .

 

Zgodnie z rysunkiem na początku zadania widzimy, że siłą powodującą ruch przyspieszony obrotowy jest siła tarcia. Zauważmy, że siła  $\overrightarrow{T}$  jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu. Zatem wzór na wartość momentu siły przyjmuję powstać:

$M=rT$  

ponieważ:

$\alpha ={90}^{\circ }$  

wówczas:

$\sin \alpha ={90}^{\circ }$  

 

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$I\epsilon =M$  

gdzie:

$I$  - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy, 

$\epsilon$  - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej, 

$M$  - wartość wypadkowego momentu sił działających na te układ.

 

Zatem:

$I\epsilon =M$  

$I\epsilon =rT\text{| : }$  

$T=\frac{I\epsilon }{r}$  

 

Z treści zadania wiemy, że moment bezwładności dla kuli wynosi:

$I=\frac{2}{3}m{r}^2$  

Wówczas:

$T=\frac{I\epsilon }{r}$  

$T=\frac{\frac{2}{3}m{r}^2\epsilon }{r}$  

$T=\frac{\frac{2}{3}m{r}^{\cancel{2}}\epsilon }{\cancel{r}}$  

$T=\frac{2}{3}m\epsilon r$  

 

 

Wartości przyspieszenia liniowego oraz kątowego

Wstawiamy wzór na wartość siły tarcia do wzoru na wartość przyspieszenia liniowego:

$a=\frac{mg\sin \alpha -T}{m}$  

$a=\frac{mg\sin \alpha -\frac{2}{3}m\epsilon r}{m}$  

$a=\frac{mg\sin \alpha }{m}-\frac{\frac{2}{3}m\epsilon r}{m}$  

$a=\frac{\cancel{m}g\sin \alpha }{\cancel{m}}-\frac{\frac{2}{3}\cancel{m}\epsilon r}{\cancel{m}}$  

$a=g\sin \alpha -\frac{2}{3}\epsilon r$  

Korzystamy z zależności pomiędzy przyspieszeniem kątowym ciała a przyspieszeniem liniowym:

$\epsilon =\frac{a}{r}$  

gdzie:

$a$  - wartość przyspieszenia liniowego w danym punkcie ciała, 

$r$  - promień okręgu, po jakim porusza się rozważany punkt tego ciała.

Zatem:

$a=g\sin \alpha -\frac{2}{3}\frac{a}{r}r$  

$a=g\sin \alpha -\frac{2}{3}\frac{a}{\cancel{r}}\cancel{r}$  

$a=g\sin \alpha -\frac{2}{3}a\text{|}+\frac{2}{3}a$  

$a+\frac{2}{3}a=g\sin \alpha$  

$\frac{5}{3}a=g\sin \alpha \text{| : }\frac{5}{3}$  

$a=\frac{3}{5}g\sin \alpha$  

Natomiast wzór na wartość przyspieszenia kątowego przyjmuję postać:

$\epsilon =\frac{a}{r}$  

$\epsilon =\frac{\frac{3}{5}g\sin \alpha }{r}$  

$\epsilon =\frac{3}{5}\frac{g\sin \alpha }{r}$  

 

Wprowadzamy dane i obliczamy:

▶ Wartość przyspieszenia liniowego:

$a=\frac{3}{5}g\sin \alpha$  

$a=\frac{3}{5}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \sin 5^{\circ }=\frac{29,43}{5}\cdot 0,0872\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$  

$=\frac{2,566296}{5}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 0,5133\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 0,513\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

▶ Wartość przyspieszenia kątowego:

$\epsilon =\frac{3}{5}\frac{g\sin \alpha }{r}$  

$\epsilon =\frac{3}{5}\cdot \frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \sin 5^{\circ }}{0,11\text{m}}=$  

$=0,6\cdot \frac{9,81\cdot 0,0872}{0,11}\frac{1}{{\text{s}}^2}=$  

$=0,6\cdot \frac{0,855432}{0,11}\frac{1}{{\text{s}}^2}=$  

$\approx 0,6\cdot 7,77665\frac{1}{{\text{s}}^2}=$  

$=4,66599\frac{1}{{\text{s}}^2}\approx 4,67\frac{1}{{\text{s}}^2}$  

Odpowiedź: Wartość przyspieszenia kątowego wynosi około 4,67 ¹/_s² , natomiast wartość przyspieszenia liniowego wynosi około 0,513 ^m/_s².