Oblicz długość odcinka, na którym miało miejsce...- Zadanie 1.2: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$d_{t} = 43 m$

$d_{p} = 187 m$

$v_{p} = 20 \frac{m}{s}$

$v_{t} = 10 \frac{m}{s}$

Szukane:

$s = ?$

Rozwiązanie:

Zgodnie z zadaniem 1.1 wartość prędkości pociągu względem tramwaju wynosi:

$v_{p^{'}} = 10 \frac{m}{s}$

Rozważmy teraz układ odniesienia związany z tramwajem. Na początku ruchu, czyli w momencie kiedy pociąg znalazł się obok końcu tramwaju:

W tym układzie jedynie pociąg się porusza. Chcąc wyprzedzić tramwaj musi pokonać drogę równą długości tramwaju oraz długości samego siebie:

$s = d_{t} + d_{p}$

gdzie:

$s$ - przebyta droga przez pociąg,

$d_{t}$ - długość tramwaju,

$d_{p}$ - długość pociągu.

Porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Droga w takim ruchu jest opisana wzorem:

$s = v t$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości ciała,

$t$ - czas ruchu.

Zatem wzór na czas przyjmuję postać:

$s = v t | : v$

$t = \frac{s}{v}$

W naszym przypadku przyjmuję on postać:

$t_{p^{'}} = \frac{s}{v _{p^{'}}}$

$t_{p^{'}} = \frac{d _{t} + d _{p}}{v _{p^{'}}}$

Jednakże upływ czasu jest taki sam w każdym inercjalnym układzie odniesienia. Zatem czas ruchu $t$ w jakim pociąg wyprzedził tramwaj jest taki sam w układzie odniesienia względem tramwaju jak i w układzie odniesienia związanym z torami. Rozważmy więc układ odniesienia związany z torami. W tym układzie zarówno tramwaj jak i również pociąg poruszają się z pewnymi prędkościami. Zatem w tym układzie całość odcinka w jakim pociąg wyprzeda tramwaj wygląda następująco:

Widzimy więc, że całkowitą odległość jaką musi przebyć pociąg, żeby wyprzedzić tramwaj jest równa sumie długości tramwaju oraz odległości jaką przebędzie tramwaj w czasie $t$ :

$s_{x} = s_{t} + d_{t}$