Dane:

${\lambda }_1=380\text{nm}=380\cdot {10}^{-9}\text{m}$  

${\lambda }_2=780\text{nm}=780\cdot {10}^{-9}\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶  masa spoczynkowa elektronu: $m_e=9,109\cdot {10}^{-31}\text{kg}$ ,

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$ ,

▶ stała Plancka: $h=6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$ .

Szukane:

Czy powstałe fotony w wyniku anihilacji pary elektron-pozyton są fotonami światła widzialnego?

Rozwiązanie:

Energię spoczynkową obiektu obliczamy z zależności:

$E_{\text{s}}=m{c}^2$  

gdzie:

$E_{\text{s}}$  - energia spoczynkowa obiektu, 

$m$  - masa, 

$c$  - wartość prędkości światła w próżni.

Zauważmy, że w wyniku anihilacji pary elektron-pozyton wytworzy się energia równa sumie energii elektronu oraz pozytonu:

$E=E_{\text{elektron}}+E_{\text{pozyton}}$  

gdzie:

$E$ - wydzielona energia,

$E_{\text{elektron}}$ - energia spoczynkowa elektronu,

$E_{\text{pozyton}}$ - energia spoczynkowa pozytonu.

$E=m_e{c}^2+m_p{c}^2$  

$E=\left(m_e+m_p\right)c^2$  

Jednakże pozyton ma tą samą masę jak elektron. Zatem całkowita wytworzona energia w anihilacji pary elektron-pozyton opisuje wzór:

$E=2m_e{c}^2$  

Wiemy, że w wyniku anihilacji powstaną dwa fotony o tej samej energii, czyli tej samej długości. Energia jednego fotonu o danej długości fali opisuje wzór:

$E_f=\frac{hc}{\lambda }$  

gdzie:

$E_f$ - energia fotonu,

$h$  - stała Plancka, 

$c$  - wartość prędkości światła, 

$\lambda$  - długość fali. 

Zapisujemy więc:

$E=2E_f$  

$2m_e{c}^2=2\frac{hc}{\lambda }\text{| : }2$  

$m_e{c}^2=\frac{hc}{\lambda }\text{|}\cdot \lambda$  

$m_e{c}^2\lambda =hc\text{| : }{c}^2{m}_e$  

$\lambda =\frac{hc}{c^2{m}_e}$  

$\lambda =\frac{h}{c{m}_e}$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$\lambda =\frac{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}}{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 9,109\cdot {10}^{-31}\text{kg}}=$  

$=\frac{6,626}{3\cdot 9,109}\cdot \frac{{10}^{-34}}{{10}^8\cdot {10}^{-31}}\frac{\text{J}\cdot \text{s}}{\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \text{kg}}=$  

$=\frac{6,626}{27,327}\cdot \frac{{10}^{-34}}{{10}^{-23}}\frac{\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot \text{s}}{\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \text{kg}}$  

$\approx 0,24247\cdot {10}^{-11}\text{m}\approx 2,42\cdot {10}^{-12}\text{m}=2,42\text{pm}$  

Odpowiedź: Długość fali powstałych fotonów nie są z zakresu światła widzialnego.