Dane:

$E_k=10\mathrm{eV}$

$B=5\cdot 10^{-5}\mathrm{T}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$,

▶ wartość ładunku elementarnego: $e=1,6\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$, 

▶  masa spoczynkowa elektronu: $m_e=9,11\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}$,

▶ zależność pomiędzy jednostkami energii: $1\mathrm{eV}=1,6\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$. 

Szukane:

$f=?$

Rozwiązanie:

Elektron krąży po okręgu. Szukamy częstotliwości z jaką elektron się porusza. Wiemy, że częstotliwość możemy przedstawić jako odwrotność okresu, czyli czasu jednego pełnego obiegu:

$f=\frac{1}{T}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość, 

$T$ - okres.

W ruchu jednostajnym po okręgu okres, czyli czas trwania jednego okrążenia, możemy przedstawić wzorem:

$T=\frac{2\pi r}{v}$

gdzie:

$\pi$ - liczba pi, 

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się elektron, 

$v$ - szybkość liniowa elektronu.

Wyznaczymy długość promienia okręgu, po którym porusza się elektron. Na elektron działa magnetyczna siła Lorentza, która w tym przypadku pełni rolę siły dośrodkowej:

$F_L=F_d$

gdzie:

$F_L$ - wartość siły Lorentza działająca na elektron, 

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej. 

Ponieważ elektron krąży w płaszczyźnie prostopadłej do linii jednorodnego do wartość siły Lorentza, która na niego działa będzie miała postać:

$F_L=evB$

gdzie: 

$e$ - bezwzględna wartość ładunku elektronu (wartość ładunku elementarnego),

$v$ - szybkość liniowa elektronu, z jaką porusza się on po okręgu, 

$B$ - wartość indukcji magnetycznej pola, w jakim porusza się elektron.

Nie znamy szybkości elektronu w polu magnetycznym, ale wiemy jaką miał wówczas energię kinetyczną. Energię kinetyczną elektronu możemy przedstawić wzorem:

$E_k=\frac{m_e{v}^2}{2}$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna, 

$m_e$ - masa elektronu.

Oznacza to, że szybkość liniową elektronu na orbicie możemy przedstawić wzorem:

$\frac{m_e{v}^2}{2}=E_k|\cdot 2$

$m_e{v}^2=2E_k|:m_e$

$v^2=\frac{2E_k}{m_e}|\sqrt{}$

$v=\sqrt{\frac{2E_k}{m_e}}$

Wartość siły dośrodkowej obliczamy z zależności:

$F_d=\frac{m_e{v}^2}{r}$

gdzie:

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się elektron w polu magnetycznym.

Korzystając z powyższych zależności możemy wyznaczyć długość tego promienia:

$F_L=F_d$

$e\cancel{v}B=\frac{m_e{v}^{\cancel{2}}}{r}$

 $eB=\frac{m_e{v}^{}}{r}$

$eB=\frac{m_e\sqrt{\frac{2E_k}{m_e}}}{r}|\cdot r$

$reB=\sqrt{m_{e^{}}^2\cdot \frac{2E_k}{m_e}}$

$reB=\sqrt{2m_e{E}_k}|:eB$

$r=\frac{\sqrt{2m_e{E}_k}}{eB}$

Znając długość promienia oraz szybkość liniową elektronu możemy wyznaczyć częstotliwość:

$f=\frac{1}{T}$

$f=\frac{1}{\frac{2\pi r}{v}}$

$f=\frac{v}{2\pi r}$

$f=\frac{\sqrt{\frac{2E_k}{m_e}}}{2\pi \frac{\sqrt{2m_e{E}_k}}{eB}}$

$f=\frac{\sqrt{\frac{2E_k}{m_e}}}{2\pi \frac{\sqrt{2m_e{E}_k}}{eB}}$

$f=\sqrt{\frac{2E_k}{m_e}}\cdot \frac{eB}{2\pi \sqrt{2m_e{E}_k}}$

$f=\frac{eB}{2\pi }\cdot \sqrt{\frac{2E_k}{m_e}\cdot \frac{1}{2m_e{E}_k}}$

$f=\frac{eB}{2\pi }\cdot \sqrt{\frac{1}{m_e^2}}$

$f=\frac{eB}{2\pi }\cdot \frac{1}{m_e^{}}$

$f=\frac{eB}{2\pi m_e}$ 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f=\frac{1,6\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}\cdot 5\cdot 10^{-5}\mathrm{T}}{2\cdot 3,14\cdot 9,11\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}}=$

$=\frac{1,6\cdot {10}^{-19}\cancel{\mathrm{C}}\cdot 5\cdot 10^{-5}\frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}}{\cancel{\mathrm{C}}\cdot \mathrm{m}}}{57,2108\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}}=$

$=\frac{8\cdot {10}^{-24}\frac{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \mathrm{s}}{\mathrm{m}}}{57,2108\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}}=\frac{8\cdot {10}^{-24}\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}}}{57,2108\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}}\approx$ 

$\approx 0,14\cdot 10^7\frac{1}{\mathrm{s}}=1,4\cdot 10^6\mathrm{Hz}$

Odpowiedź: Częstotliwość obiegu elektronu po tej orbicie wynosi około 1,4∙10⁶ Hz.