a)

Ponieważ $x$ i $y$ to długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, możemy użyć twierdzenia Pitagorasa do obliczenia długości jego przeciwprostokątnej. Oznaczmy jej długość przez $z$. 

Mamy zatem

$x^2+y^2=z^2$

${\left(\sqrt{2}+1\right)}^2+{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2=z^2$

${\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\sqrt{2}+1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}+1^2=z^2$

$2+2\sqrt{2}+1+2-2\sqrt{2}+1=z^2$

$6=z^2|\sqrt{}(z>0)$

$z=\sqrt{6}$

Aby obliczyć obwód $L$ tego trójkąta należy dodać do siebie długości wszystkich boków:

$L=x+y+z$

$L=\sqrt{2}+\cancel{1}+\sqrt{2}-\cancel{1}+\sqrt{6}$

$\underline{L=2\sqrt{2}+\sqrt{6}}$

---

b) 

Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej w tym trójkącie użyjemy twierdzenia Pitagorasa.

Obliczając kwadraty długości przyprostokątnych, przy użyciu wzorów skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i kwadrat sumy, mamy kolejno:

$x^2={\left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2$

$x^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2$

$x^2=4\cdot 3-4\sqrt{2\cdot 3}+4$

$x^2=12-4\sqrt{6}+4$

$x^2=16-4\sqrt{6}$

Następnie

$y^2={\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2$

$y^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2+2\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2$

$y^2=4\cdot 2+4\sqrt{6}+3$

$y^2=11+4\sqrt{6}$

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:

$z^2=x^2+y^2$

$z^2=\underset{=x^2}{\underbrace{16-4\sqrt{6}}}+\underset{=y^2}{\underbrace{11+4\sqrt{6}}}$

$z^2=27|\sqrt{}(z>0)$

$z=3\sqrt{3}$

Możemy zatem obliczyć obwód trójkąta:

$L=x+y+z$

$L=2\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{2}+\sqrt{3}+3\sqrt{3}$

$L=2\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}$

$\underline{L=6\sqrt{3}-\sqrt{2}}$