W zadaniu wykorzystamy wzory skróconego mnożenia, na kwadrat sumy:

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$ 

kwadrat różnicy:

${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

oraz na różnicę kwadratów:

$a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$

---

a)

Zauważmy, że

$(2-3\sqrt{3})(2-3\sqrt{3})=(2-3\sqrt{3}{)}^2$

Możemy zatem skorzystać ze wzoru na kwadrat różnicy, przyjmując $a=2$ oraz $b=3\sqrt{3}$ .

Otrzymamy wtedy

$(2-3\sqrt{3}{)}^2=2^2-2\cdot 2\cdot 3\sqrt{3}+(3\sqrt{3}{)}^2=$

$=4-12\sqrt{3}+3^2\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2=$

$=4-12\sqrt{3}+27=$

$=\underline{31-12\sqrt{3}}$

---

b) 

Z uwagi na przemienność dodawania, możemy zapisać równość

$\left(7+5\sqrt{2}\right)\left(5\sqrt{2}+7\right)={\left(7+5\sqrt{2}\right)}^2$

Wykorzystując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy otrzymamy

${\left(7+5\sqrt{2}\right)}^2=7^2+2\cdot 7\cdot 5\sqrt{2}+{\left(5\sqrt{2}\right)}^2=$

$=49+70\sqrt{2}+50=\underline{99+70\sqrt{2}}$

---

c)

Wykorzystując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymamy:

$\left(4\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(4\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=$

$={\left(4\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=$

$=16\cdot 5-3=80-3=\underline{73}$

---

d)

Wykorzystując przemienność dodawania oraz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymamy kolejno:

$\left(\sqrt{8}+2\sqrt{6}\right)\left(2\sqrt{6}-\sqrt{8}\right)=$

$=\left(2\sqrt{6}+\sqrt{8}\right)\left(2\sqrt{6}-\sqrt{8}\right)=$

$={\left(2\sqrt{6}\right)}^2-{\left(\sqrt{8}\right)}^2=4\cdot 6-8=$

$=24-8=\underline{16}$

---

e)

Wykorzystując wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dostaniemy:

${\left(\sqrt{6}-3\sqrt{3}\right)}^2=$

$=6-2\cdot \sqrt{6}\cdot 3\sqrt{3}+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2=$

$=6-6\sqrt{18}+9\cdot 3=6-6\sqrt{9\cdot 2}+27=$

$=33-6\cdot \sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=33-6\cdot 3\cdot \sqrt{2}=$

$=\underline{33-18\sqrt{2}}$

---

f)

Wyłączając czynnik przed pierwiastek w liczbie $2\sqrt{32}$ otrzymamy:

${\left(2\sqrt{32}-3\sqrt{2}\right)}^2={\left(2\sqrt{16\cdot 2}-3\sqrt{2}\right)}^2=$

$={\left(2\cdot \sqrt{16}\cdot \sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)}^2={\left(8\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)}^2=$

$={\left(5\sqrt{2}\right)}^2=25\cdot 2=\underline{50}$