a)

Liczba naturalna jest podzielna przez $3$wtedy, gdy  suma cyfr tej liczby jest podzielna przez $3$.

Suma cyfr liczby $65432x$ wynosi 

$6+5+4+3+2+x=20+x$

Bezpośrednio sprawdzając wszystkie cyfry $0,1,\dots ,9$ otrzymujemy, że
jedynie $1$, $4$ i $7$ są szukanymi wartościami $x$.

Dla $x=1$ mamy

$20+x=20+1=21=3\cdot 7$

Natomiast dla $x=4$ i $x=7$ suma liczb wynosi odpowiednio $24$ i $27$.

Odpowiedź: $x=1$ lub $x=4$ lub $x=7$.

---

b) 

Liczba naturalna jest podzielna przez $4$ wtedy, gdy dwie ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę dwucyfrową podzielną przez $4$.

Należy zatem  w liczbie $65432x$ tak dobrać $x$, żeby liczba dwucyfrowa postaci $2x$ była podzielna przez $4$. 

Jedynymi możliwymi wartościami $x$ są $0$, $4$ i $8$, ponieważ otrzymane w ten sposób liczby dwucyfrowe $20$, $24$ i $28$ są podzielne przez $4$.

Odpowiedź: $x=0$ lub $x=4$ lub $x=8$.

---

c) 

Liczba naturalna jest podzielna przez $5$ tylko wtedy, gdy jej cyfra jedności jest równa $0$ lub $5$.

Wynika stąd bezpośrednio, że jedyne możliwe wartości $x$ to $0$ i $5$.

Odpowiedź: $x=0$ lub $x=5$.

---

d) 

Liczba naturalna jest podzielna przez $8$ wtedy, gdy trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę trzycyfrową podzielną przez $8$.

Należy zatem w liczbie $65432x$  tak dobrać $x$, aby liczba $32x$ była podzielna przez $8$.

Każda liczba podzielna przez $8$ musi dzielić się również przez $4$, możemy zatem skorzystać z opisanego wyżej podpunktu b).

Jedynymi liczbami szukanej postaci podzielnymi przez $4$ są liczby $654320$, $654324$ i $654328$. Wśród nich jedynie liczby $654320$ i $654328$ są podzielne przez $8$, ponieważ

 $320=8\cdot 40$ i $328=8\cdot 42$

Otrzymujemy stąd dwa możliwe rozwiązania: $x=0$ i $x=8$.

Odpowiedź: $x=0$ lub $x=8$.

---

e) 

Liczba naturalna jest podzielna przez $9$ tylko wtedy, gdy suma cyfr tej liczby jest podzielna przez $9$.

Suma cyfr liczby $65432x$ wynosi $20+x$, a zatem jedyną możliwą wartością $x$ jest $7$, ponieważ

$20+x=20+7=27=9\cdot 3$

Odpowiedź: $x=7$.