a)

Zapisując kilka początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby

$0,(3210)=0,\mathrm{3210321032103...}$

zauważamy, że kolejne cyfry powtarzają się dokładnie co cztery pozycje.

W związku z tym piętnasta cyfra po przecinku będzie taka sama jak jedenasta, siódma, oraz trzecia.

Cyfrą na trzecim miejscu rozwinięcia dziesiętnego jest $1$.

Odpowiedź:

Na piętnastym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym znajduje się liczba $1$.

---

b)

Zauważmy, że w liczbie

$6,(3648)=6,\mathrm{364836483...}$

kolejne cyfry w rozwinięciu dziesiętnym powtarzają się dokładnie co $4$ pozycje.

Ponieważ liczba $15$ daje resztę $3$ z dzielenia przez $4$, to piętnasta cyfra w rozwinięciu dziesiętnym będzie taka sama, jak trzecia.

Trzecią cyfrą po przecinku jest $4$.

Odpowiedź:

Na piętnastym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym znajduje się liczba $4$.

---

c)

W liczbie

$4,3(201)=4,3201201201...$

cyfry $2,0$ oraz $1$ powtarzają się dokładnie co trzy pozycje, jednak zaczynając dopiero od drugiego miejsca po przecinku. 

W rezultacie piętnasta cyfra rozwinięcia dziesiętnego jest taka sama jak dwunasta, dziewiąta, szósta oraz trzecia.

Odpowiedź:

Na piętnastym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym znajduje się liczba $0$.

---

d)

W liczbie

$1,29(325)=1,29325325325...$

cyfry $3,2$ oraz $5$ powtarzają się dokładnie co trzy pozycje, jednak zaczynając dopiero od trzeciego miejsca po przecinku.

Piętnasta cyfra po przecinku jest więc taka sama jak trzecia cyfra, zatem jest równa $3$.

Odpowiedź:

Na piętnastym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym znajduje się cyfra $3$.