Dla pewnych $a$, $b\in {\mathbb{R}}_{+}$ zachodzi równość:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(a+b)n+2}{8n+5}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(a-2)n^2+bn-7}{an+4}$

Oblicz $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(a+b)n+2}{8n+5}=\frac{a+b}{8}$              $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(a-2)n^2+bn-7}{an+4}=\{\begin{array}{l}\pm \infty ,a\ne 2\\ \frac{b}{a},a=2\end{array}$

W takim razie, żeby granice mogły być sobie równe, $a$ musi być równe $2$. Wtedy:

$\frac{2+b}{8}=\frac{b}{2}$    $|\cdot 8$
$2+b=4b$
$b=\frac{2}{3}$

Odp.: $a=2$, $b=\frac{2}{3}$