7- Zadanie 7: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Twierdzenie o działaniach na niewłaściwych granicach ciągów

Dane są cztery ciągi rozbieżne $(a_{n})$ , $(b_{n})$ , $(p_{n})$ , $(q_{n})$ takie, że $n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = \infty$
i $n \to \infty lim p_{n} = n \to \infty lim q_{n} = - \infty$ . Wtedy:

$n \to \infty lim (s \cdot a_{n}) = \infty$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $s > 0$ i $n \to \infty lim (s \cdot a_{n}) = - \infty$ dla $s < 0$
$n \to \infty lim (a_{n} + b_{n}) = \infty$ i $n \to \infty lim (p_{n} + q_{n}) = - \infty$
$n \to \infty lim (a_{n} \cdot b_{n}) = \infty$ i $n \to \infty lim (p_{n} \cdot q_{n}) = \infty$
jeżeli $n \to \infty lim c_{n} = g > 0$ , to $n \to \infty lim (c_{n} \cdot a_{n}) = \infty$ i $n \to \infty lim (c_{n} \cdot p_{n}) = - \infty$
jeżeli $n \to \infty lim c_{n} = g < 0$ , to $n \to \infty lim (c_{n} \cdot a_{n}) = - \infty$ i $n \to \infty lim (c_{n} \cdot p_{n}) = \infty$

Odwrotność wzoru ciągu a jego granica

Dany jest ciąg $(a_{n})$ o wyrazach różnych od zera. Wtedy:

jeżeli $n \to \infty lim a_{n} = \pm \infty$ , to $n \to \infty lim (a_{n})^{- 1} = 0$
jeżeli $n \to \infty lim a_{n} = 0$ i każdy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest dodatni, to $n \to \infty lim (a_{n})^{- 1} = \infty$
jeżeli $n \to \infty lim a_{n} = 0$ i każdy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest ujemny, to $n \to \infty lim (a_{n})^{- 1} = - \infty$