Przykład 1. Oblicz granice podanych ciągów zbieżnych.

a) $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2^n+4^n}$
Zauważmy, że zachodzą następujące nierówności:

$4=\sqrt[n]{4^n}\le \sqrt[n]{2^n+4^n}\le \sqrt[n]{4^n+4^n}=\sqrt[n]{4^n\cdot 2}=4\cdot \sqrt[n]{2}$

Mamy: $\underset{n\to \infty }{\lim }4=4$ i $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2}\cdot 4=1\cdot 4=4$
W takim razie na mocy twierdzenia o trzech ciągach zachodzi: $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2^n+4^n}=4$

b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2\sin n}{5n+3}$
Wiemy, że $-1\le \sin n\le 1$, więc zachodzą następujące nierówności:

$\frac{-2}{5n+3}\le \frac{2\sin n}{5n+3}\le \frac{2}{5n+3}$

Mamy: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{-2}{5n+3}=0$ i $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{5n+3}=0$
W takim razie na mocy twierdzenia o trzech ciągach zachodzi: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2\sin n}{5n+3}=0$