Rozwiązanie

• $1+3+5+7+\dots +(2n+1)$ to suma $k$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
  o pierwszym wyrazie równym $a_1=1$, różnicy równej $r=2$ i ostatnim wyrazie $a_k=2n+1$
        $2n+1=1+\left(k-1\right)\cdot 2$
        $2n+1=1+2k-2$
        $2k=2n+2$
        $k=n+1$
  $1+3+5+7+\dots +(2n+1)=\frac{1+\left(2n+1\right)}{2}\cdot (n+1)=\frac{2n+2}{2}\cdot (n+1)=(n+1{)}^2$
  
• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n!}{2!\cdot (n-2)!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!}{2\cdot (n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}$

Mamy więc:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+3+5+7+\dots +(2n+1)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+1{)}^2}{\frac{n(n-1)}{2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2(n+1{)}^2}{n(n-1)}=$
$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2+4n+2}{n^2-n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}}{1-\frac{1}{n}}=\frac{2}{1}=2$                             Odp.: Granicą jest $2$.