Przykład 4. Oblicz następujące granice:

a) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2+32n}{-n+5}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n+32}{-1+\frac{5}{n}}=\left[\frac{\infty }{-1}\right]=-\infty$

b) $\underset{n\to \infty }{\lim }(2^n+4^n-8\cdot 6^n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{6}^n\left(\frac{1}{3^n}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-8\right)=\left[\infty \cdot (-8)\right]=-\infty$

c) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}$

Rozwiązanie (I sposób)
$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\frac{n-1}{n^2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{1-\frac{1}{n}}=\left[\frac{\infty }{1}\right]=\infty$

Rozwiązanie (II sposób)
$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)=0$ i wyrazy ciągu $\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)$ są dodatnie, więc mamy
$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}=\left[\frac{1}{0}\right]=\infty$