12- Zadanie 12: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$ spełniają układ równań

${a_{2} + a_{4} = 60 a_{3} + a_{5} = - 180$

Wyznacz liczbę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, których suma $S_{n}$ to $265720$ .

Rozwiązanie

$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$

${a_{1} q + a_{1} q^{3} = 60 a_{1} q^{2} + a_{1} q^{4} = - 180$
${a_{1} q (1 + q^{2}) = 60 a_{1} q^{2} (1 + q^{2}) = - 180$
$q \cdot 60 a_{1} q (1 + q^{2}) = - 180$
$60 q = - 180$
$q = - 3$

$a_{1} q + a_{1} q^{3} = 60$
$- 3 a_{1} + (- 3)^{3} a_{1} = 60$
$- 30 a_{1} = 60$
$a_{1} = - 2$

$S_{n} = - 2 \cdot \frac{1 - ( - 3 ) ^{n}}{1 - ( - 3 )} = - 2 \cdot \frac{1 - ( - 3 ) ^{n}}{4} = \frac{( - 3 ) ^{n} - 1}{2} = 265720$
$(- 3)^{n} = 531441$ $\to$ $n$ jest parzyste
$n = 12$