Związek między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

Ciąg $\left(a_n\right)$ jest geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej trójki jego kolejnych wyrazów: $a_{n-1}$, $a_n$, $a_{n+1}$ (gdzie $n>1$) zachodzi związek:

${\left(a_n\right)}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$,    $n\ge 2$

Oznacza to, że wyraz środkowy jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Dowód:                          $\{\begin{array}{l}{a}_{n-1}=\frac{a_n}{q}\\ a_{n+1}=a_n\cdot q\end{array}$     $\to$     $a_{n-1}\cdot a_{n+1}=\frac{a_n}{q}\cdot a_n\cdot q=a_n^2$                            $■$