8- Zadanie 8: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Przykład 2. Dany jest ciąg $(a_{n})$ , którego wyrazy są dodatnie, a pierwszym z nich jest $a_{1} = 1$ . Suma jego pierwszych trzech wyrazów jest równa $57$ . Znajdź wzór ogólny ciągu $(a_{n})$ jeśli

(a_{n})

jest ciągiem arytmetycznym.

(a_{n})

jest ciągiem geometrycznym.

Rozwiązanie

a) $S_{3} = \frac{2 \cdot 1 + ( 3 - 1 ) r}{2} \cdot 3 =$
$= \frac{2 + 2 r}{2} \cdot 3 = 3 + 3 r$
$3 + 3 r = 57$
$r = 18$

$a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 18$
$a_{n} = 18 n - 17$

$(a_{n}) = (1, 19, 37, \dots)$
$S_{3} = 1 + 19 + 37 = 57$

b) $S_{3} = 1 \cdot \frac{1 - q ^{3}}{1 - q} =$
$= \frac{( 1 - q ) ( 1 + q + q ^{2} )}{1 - q} = 1 + q + q^{2}$
$1 + q + q^{2} = 57$
$q^{2} + q - 56 = 0$
$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56) = 225 \to Δ = 15$
$q_{1} = \frac{- 1 + 15}{2} = 7$ , $q_{2} = \frac{- 1 - 15}{2} = - 8$
Ciąg ma wyrazy dodatnie, więc $q > 0$ .
$q = 7 \to a_{n} = 7^{n - 1}$