Dany jest taki ciąg $\left(a_n\right)$, że dla każdej liczby naturalnej $n$ suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $3n^2-n$.
Wykaż, że ciąg $({\mathbf{a}}_{\mathbf{n}})$ jest ciągiem arytmetycznym.

Rozwiązanie

$S_n=3n^2-n$
$S_{n-1}=3(n-1{)}^2-(n-1)=3n^2-6n+3-n+1=3n^2-7n+4$

$a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-n-\left(3n^2-7n+4\right)=3n^2-n-3n^2+7n-4=6n-4$
$a_n=6n-4\leftarrow$wzór ogólny ciągu $\left(a_n\right)$

Sprawdźmy, czy ciąg o takim wzorze jest arytmetyczny:
$a_{n+1}-a_n=6(n+1)-4-(6n-4)=6n+6-4-6n+4=6$

Różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest stała, więc $\left(a_n\right)$ jest ciągiem arytmetycznym.                                                                                                                   $■$