11- Zadanie 11: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Dane są dwa ciągi o wyrazach dodatnich, $(a_{n})$ arytmetyczny i $(b_{n})$ geometryczny. Wiemy, że $a_{1} = 4 q$ , gdzie $q$ to iloraz ciągu $(b_{n})$ . Ponadto, $b_{1} = 50 r + 6$ , gdzie $r$ to różnica ciągu $(a_{n})$ . Wiemy też, że sumą dziesięciu początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest $255$ oraz że zachodzi związek $24 b_{15} = 16 b_{16} + 9 b_{14}$ .
Wyznacz wzory ogólne ciągów $(a_{n})$ i $(b_{n})$ . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = 4 q b_{1} = 50 r + 6 a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 255 24 b_{15} = 16 b_{16} + 9 b_{14}$

$(3)$ $S_{10} = \frac{2 a _{1} + 9 r}{2} \cdot 10 = 10 a_{1} + 45 r = 255$
$(1)$ $10 \cdot 4 q + 45 r = 255$ $\to$ $40 q + 45 r = 255$

$(4)$ $24 b_{15} = 16 b_{16} + 9 b_{14}$
$24 b_{1} \cdot q^{14} = 16 b_{1} \cdot q^{15} + 9 b_{1} \cdot q^{13}$ $∣ : b_{1} q^{13}$
$24 q = 16 q^{2} + 9$ $\to$ $16 q^{2} - 24 q + 9 = 0$

$Δ = (- 24)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 0$
$q = \frac{24}{2 \cdot 16} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$

$40 \cdot \frac{3}{4} + 45 r = 255$ $\to$ $r = 5$
$(1)$ $a_{1} = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$
$(2)$ $b_{1} = 50 \cdot 5 + 6 = 256$

$a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 5 = 5 n - 2$
$b_{n} = 256 \cdot (\frac{3}{4})^{n - 1}$
Odp.: $a_{n} = 5 n - 2$ , $b_{n} = 256 \cdot (\frac{3}{4})^{n - 1}$