Treść:

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $108.$ Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $\alpha$ taki, że $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego ostrosłupa jest równa

A. $72\sqrt{2}$

B. $216\sqrt{2}$

C. $8\sqrt{2}$

D. $72$

 

---

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia zgodnie z poniższym rysunkiem

Z definicji funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym $SEW$ otrzymujemy, że

$\cos \alpha =\frac{\left|SE\right|}{\left|EW\right|}$

To oznacza, że 

$\frac{\left|SE\right|}{\left|EW\right|}=\frac{1}{3}$

Czyli

$\left|EW\right|=3\left|SE\right|$

Przyjmijmy, że $\left|SE\right|=x$. Zauważmy, że jest to połowa długości krawędzi podstawy, bo $\left|SE\right|=\left|BE\right|=\left|EA\right|=\frac{1}{2}\left|AB\right|$

Wobec tego

$\left|AB\right|=2x$, $\left|EW\right|=3x$

Powierzchnia boczna składa się z czterech przystających trójkątów równoramiennych. Pole powierzchni bocznej możemy więc zapisać jako

$P_b=4\cdot P_{△ABW}=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|EW\right|=2\cdot 2x\cdot 3x=12x^2$

Pole powierzchni bocznej wynosi $108$, więc otrzymujemy równanie.

$12x^2=108|:12$

$x^2=9|\sqrt{},x>0$

$x=3$

Wobec tego krawędź podstawy ma długość

$\left|AB\right|=2x=6$

Pole podstawy, czyli pole kwadratu o boku długości $6$ wynosi

$P_P=6^2=36$

---

Aby obliczyć objętość ostrosłupa, wyznaczmy jeszcze jego wysokość. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $SEW:$

$H^2+x^2={\left(3x\right)}^2$

$H^2=9x^2-x^2$

$H^2=8x^2$

$H^2=8\cdot 9$

$H^2=72|\sqrt{},H>0$

$H=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$

Objętość ostrosłupa jest równa

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 6\sqrt{2}=12\cdot 6\sqrt{2}=\underline{\underline{72\sqrt{2}}}$

---

Odp. A.