Treść:

Bok trójkąta równobocznego $ABC$ ma długość $6\sqrt{3}.$ Punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

A. $6\pi$

B. $12\pi$

C. $18\pi$

D. $36\pi$

---

Rozwiązanie:

Zauważmy, że zakreskowana część jest wycinkiem koła. Aby obliczyć jego pole, wyznaczmy miarę kąta środkowego $ASB$ i promień tego okręgu.

Skoro okrąg jest opisany na trójkącie równobocznym, to promień tego okręgu wyraża się wzorem

$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{6\cdot 3}{3}=6$

Zauważmy, że kąt środkowy tego wycinka jest oparty na łuku $AB$, czyli na takim samym łuku, co kąt wpisany $ACB$. Kąt $ACB$ jest kątem wewnętrznym trójkąta równobocznego, więc ma miarę $60^{\circ }.$ Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę od niego dwa razy większą, więc

$\left|\sphericalangle ASB\right|=2\cdot \left|\sphericalangle ACB\right|=2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }$

Korzystamy ze wzoru na pole wycinka koła.

$P=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot \pi R^2=\frac{120}{360}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 36=\underline{\underline{12\pi }}$

---

Odp. B.