Treść:
W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(-1,8\right).$ Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych $\left(0,6\right).$.

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich otrzymane zdanie było prawdziwe.

Wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci

A. $f\left(x\right)=-2{\left(x-1\right)}^2+8$	D. $f\left(x\right)=-2\left(x+3\right)\left(x-1\right)$
B. $f\left(x\right)=2{\left(x+1\right)}^2+8$	E. $f\left(x\right)=-2\left(x-3\right)\left(x+1\right)$
C. $f\left(x\right)=-2{\left(x+1\right)}^2+8$	F. $f\left(x\right)=2\left(x+3\right)\left(x-1\right)$

 

---

Rozwiązanie:

W treści zadania mamy podany wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $f$, więc wzór tej funkcji możemy zapisać w postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$, gdzie $W\left(p,q\right)$ jest wierzchołkiem wykresu funkcji $f$.

Skoro wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest punkt $\left(-1,8\right)$, to przyjmujemy, że $p=-1$, $q=8$.

Zatem funkcja $f$ ma wzór

$f\left(x\right)=a{\left(x+1\right)}^2+8$

Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $\left(0,6\right).$ To oznacza, że $f\left(0\right)=6$. Wstawiamy współrzędne tego punktu do wzoru funkcji i obliczamy wartość współczynnika $a.$

$6=a{\left(0+1\right)}^2+8$

$6=a+8|-8$

$a=-2$

Zatem postacią kanoniczną wzoru funkcji $f$ jest $f\left(x\right)=-2{\left(x+1\right)}^2+8$

Wobec tego jedną z poprawnych odpowiedzi jest E. 

---

Sprowadzimy teraz wzór funkcji do postaci iloczynowej. W tym celu obliczamy miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ funkcji $f.$

$f\left(x_{}\right)=0$

$-2{\left(x+1\right)}^2+8=0$

$-2{\left(x+1\right)}^2=-4|:\left(-2\right)$

${\left(x+1\right)}^2=4$

$\begin{array}{ccc}x+1=2& \vee & x+1=-2\end{array}$

$\begin{array}{cccc}x=1& \vee & & x=-3\end{array}$

Skoro miejscami zerowymi funkcji są liczby $x_1=1$ i $x_2=-3$, to postacią iloczynową wzoru tej funkcji jest

$f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

$f\left(x\right)=-2\left(x-1\right)\left(x+3\right)$

Stąd drugą poprawną odpowiedzią jest B. 

---

Odp. B,E