Treść: 

Dany jest prostokąt $ABCD$ o bokach długości $\left|AB\right|=\left|CD\right|=14$ oraz $\left|BC\right|=\left|AD\right|=10.$ Na bokach $AB$, $BC$, $CD$ i $DA$ obrano odpowiednio punkty $P,Q,R,S$ takie, że $\left|BP\right|=\left|CQ\right|=\left|DR\right|=\left|AS\right|=x$oraz $5\le x<10$ (zobacz rysunek).

 

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole $P$ prostokąta $PQRS$ w zależności od zmiennej $x$ opisuje funkcja $P\left(x\right)=2x^2-24x+140$, gdzie $x\in \left[5,10\right)$.	P	F
Pole czworokąta $PQRS$ jest najmniejsze, gdy $x=7$.	P	F

---

 Rozwiązanie:

Pole czworokąta  $PQRS$ zapiszemy jako różnicę pola prostokąta $ABCD$ i sumy pól czterech trójkątów prostokątnych, które znajdują się w narożnikach tego prostokąta.

Pole prostokąta $ABCD$ jest równe

$P_{ABCD}=\left|AB\right|\cdot \left|BC\right|=14\cdot 10=140$

Zauważmy, że 

$\left|AP\right|=\left|CR\right|=14-x$

$\left|BQ\right|=\left|DS\right|=10-x$

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta i mamy, że

$P_{△APS}=P_{△CQR}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \left(14-x\right)=7x-\frac{1}{2}{x}^2$

$P_{△SDR}=P_{△PBQ}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \left(10-x\right)=5x-\frac{1}{2}{x}^2$

Pole czworokąta $PQRS$ wynosi

$P_{PQRS}=P_{ABCD}-\left(P_{△APS}+P_{△CQR}+P_{△SDR}+P_{△PQB}\right)=140-\left(7x-\frac{1}{2}{x}^2+7x-\frac{1}{2}{x}^2+5x-\frac{1}{2}{x}^2+5x-\frac{1}{2}{x}^2\right)=140-(24x-2x^2)=140-24x+2x^2$

Wobec tego pole czworokąta $PQRS$ jako funkcja zmiennej $x$ wyraża się wzorem

$P\left(x\right)=2x^2-24x+140,$gdzie $x\in \left[5,10\right).$

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

---

Drugie zdanie

Pole czworokąta $PQRS$ opisuje funkcja $P\left(x\right)=2x^2-24x+140,$ gdzie $x\in \left[5,10\right)$. Ta funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, ponieważ ramiona paraboli są skierowane do góry.

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli i sprawdzamy, czy należy do dziedziny funkcji $P.$

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{24}{2\cdot 2}=\frac{24}{4}=6\in \left[5,10\right)$

Wobec tego pole czworokąta $PQRS$ jest najmniejsze dla $x=6.$ 

Drugie zdanie jest fałszywe.

---

Odp. PF.