Prawa działań na potęgach

Dla dowolnych liczb  a, b > 0 oraz x, y ∈ ℝ prawdziwe są wzory: $1.a^x\cdot a^y=a^{x+y}$   $2.\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$   $3.{\left(a^x\right)}^y=a^{x\cdot y}$ $4.a^x\cdot b^x={\left(a\cdot b\right)}^x$ $5.\frac{a^x}{b^x}={\left(\frac{a}{b}\right)}^x$

---

a) 

Korzystamy z praw działań na potęgach -wzory (1) i (3):

$\frac{2^8-4^3}{{16}^2+8^2}=\frac{2^8-{\left(2^2\right)}^3}{{\left(2^4\right)}^2+{\left(2^3\right)}^2}\stackrel{\left(3\right)}{=}\frac{2^8-2^6}{2^8+2^6}=\dots$  

wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy

$..=\frac{2^{6+2}-2^6}{2^{6+2}-2^6}\stackrel{\left(1\right)}{=}\frac{2^6\left(2^2-1\right)}{2^6\left(2^2+1\right)}=\frac{\sout{2^6}\cdot 3}{\sout{2^6}\cdot 5}=\underline{\underline{\frac{3}{5}}}$  

---

b)

Korzystamy z praw działań na potęgach - wzory (1), (2) i (3):

$\frac{3^5+{27}^2}{9\cdot 3^5}=\frac{3^5+{\left(3^3\right)}^2}{3^2\cdot 3^5}\stackrel{\left(1\right),\left(3\right)}{=}\frac{3^5+3^6}{3^{2+5}}=$

$=\frac{3^5+3^{5+1}}{3^7}=\frac{3^5\left(1+3^1\right)}{3^7}\stackrel{\left(2\right)}{=}{3}^{5-7}\cdot \left(1+3\right)=3^{-2}\cdot 4=\frac{1}{3^2}\cdot 4=\frac{1}{9}\cdot 4=\underline{\underline{\frac{4}{9}}}$  

---

c)

Korzystamy z praw działań na potęgach -wzory (2) i (3):

$\frac{5^8:5^2-{125}^2}{{25}^{-3}:5^{-2}}\stackrel{\left(2\right)}{=}\frac{5^{8-2}-{\left(5^3\right)}^2}{{\left(5^2\right)}^{-3}:5^{-2}}\stackrel{\left(3\right)}{=}\frac{5^6-5^6}{5^{-6}:5^{-2}}\stackrel{\left(2\right)}{=}\frac{0}{5^{-6-\left(-2\right)}}=\underline{\underline{0}}$