Prawa działań na potęgach

Dla dowolnych liczb  a, b > 0 oraz x, y ∈ ℝ prawdziwe są wzory: $1.a^x\cdot a^y=a^{x+y}$   $2.\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$   $3.{\left(a^x\right)}^y=a^{x\cdot y}$ $4.a^x\cdot b^x={\left(a\cdot b\right)}^x$ $5.\frac{a^x}{b^x}={\left(\frac{a}{b}\right)}^x$

---

a) 

Wyznaczymy, dla jakiej liczby naturalnej n spełniony jest warunek:   

$n-1\le x<n$

Zapisujemy liczbę x w najprostszej postaci.

$x=\frac{3^{32}-3^{30}}{3^{28}}=\dots$  

wyłączamy w liczniku wspólny czynnik 3³⁰  przed nawias i otrzymujemy: 

$\dots =\frac{3^{30+2}-3^{30}}{3^{28}}=\frac{3^{30}\cdot 3^2-3^{30}}{3^{28}}=\frac{3^{30}\cdot \left(3^2-1\right)}{3^{28}}=$  

$=\frac{3^{30}}{3^{28}}\cdot \left(3^2-1\right)=3^{30-28}\cdot \left(9-1\right)=3^2\cdot 8=9\cdot 8=72$  

Szukamy  najmniejszej liczby naturalnej n, dla której 

$72<n$  

Stąd

$\underline{\underline{n=73}}$  

---

b) 

Wyznaczymy, dla jakiej liczby naturalnej n spełniony jest warunek:  

 $n-1\le x<n$  

Zapisujemy liczbę x w najprostszej postaci.

$x=\frac{2^{22}+2^{21}}{3\cdot 2^{11}}=\dots$  

wyłączamy w liczniku wspólny czynnik 2²¹  przed nawias i otrzymujemy: 

$\dots =\frac{2^{21+1}+2^{21}}{3\cdot 2^{11}}=\frac{2^{21}\cdot 2^1+2^{21}}{3\cdot 2^{11}}=\frac{2^{21}\cdot \left(2^1+1\right)}{3\cdot 2^{21}}=$  

$=\frac{2^{21}\cdot \sout{3}}{\sout{3}\cdot 2^{11}}=\dots$  

Korzystamy z praw działań na potęgach - wzór (2) i mamy

$\dots \stackrel{\left(2\right)}{=}{2}^{21-11}=2^{10}=1024$  

Szukamy  najmniejszej liczby naturalnej n, dla której 

$1024<n$  

Stąd

$\underline{\underline{n=1025}}$  

---

c)

Wyznaczymy, dla jakiej liczby naturalnej n spełniony jest warunek: 

  $n-1\le x<n$  

Zapisujemy liczbę x w najprostszej postaci.

$x=\frac{5^{14}-5^{12}}{5^{13}+5^{12}}=\dots$  

wyłączamy w liczniku i mianowniku wspólne czynniki przed nawias i otrzymujemy: 

$\dots =\frac{5^{12+2}-5^{12}}{5^{12+1}+5^{12}}=\frac{5^{12}\cdot 5^2-5^{12}}{5^{12}\cdot 5^1+5^{12}}=\frac{\sout{5^{12}}\cdot \left(5^2-1\right)}{\sout{5^{12}}\left(5^1+1\right)}=$  

$=\frac{25-1}{5+1}=\frac{24}{6}=4\dots$  

Szukamy  najmniejszej liczby naturalnej n, dla której 

$4<n$  

Stąd

$\underline{\underline{n=5}}$