Prawa działań na pierwiastkach $1.\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},a,b\ge 0$   $2.\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},a\ge 0,b>0$   $3.\sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b},a,b\in \mathbb{R}$   $4.\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}},a\in \mathbb{R},b\ne 0$

---

a)

Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka i wykonujemy działania.

$\sqrt{72}+\sqrt{32}+\sqrt{8}=\sqrt{36\cdot 2}+\sqrt{16\cdot 2}+\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{16}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}=$  

$=6\sqrt{2}+4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=\underline{\underline{12\sqrt{2}}}$  

---

b)

 Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka i wykonujemy działania.

  $2\sqrt{75}-2\sqrt{3}+\sqrt{300}=2\sqrt{25\cdot 3}-2\sqrt{3}+\sqrt{100\cdot 3}=2\sqrt{25}\cdot \sqrt{3}-2\sqrt{3}+\sqrt{100}\cdot \sqrt{3}=$  

$=2\cdot 5\cdot \sqrt{3}-2\sqrt{3}+10\cdot \sqrt{3}=10\sqrt{3}-2\sqrt{3}+10\sqrt{3}=\underline{\underline{18\sqrt{3}}}$  

---

c)

Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka i wykonujemy działania.

$\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{128}-\sqrt[3]{432}=\sqrt[3]{27\cdot 2}+\sqrt[3]{64\cdot 2}-\sqrt[3]{216\cdot 2}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{64}\cdot \sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{216}\cdot \sqrt[3]{2}=$  

$=3\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{2}-6\sqrt[3]{2}=\underline{\underline{\sqrt[3]{2}}}$  

---

d)

Mnożymy pierwiastki i następnie wykonujemy działania.

$\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{500}-\sqrt[3]{4}\right)=\sqrt[3]{500\cdot 2}-\sqrt[3]{2\cdot 4}=\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{{10}^3}-\sqrt[3]{2^3}=10-2=\underline{\underline{8}}$

---

e)

 Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka i wykonujemy działania.

$\frac{4\sqrt{3}+\sqrt{27}}{\sqrt{12}}=\frac{4\sqrt{3}+\sqrt{9\cdot 3}}{\sqrt{4\cdot 3}}=\frac{4\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{7\sout{\sqrt{3}}}{2\sout{\sqrt{3}}}=\frac{7}{2}=\underline{\underline{3,5}}$  

---

f)

Mnożymy pierwiastki i następnie wyłączamy wspólny znak przed znak pierwiastka.

$\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{6}+\sqrt{24}\right)}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2\cdot 6}+\sqrt{2\cdot 24}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4\cdot 3}+\sqrt{16\cdot 3}}{\sqrt{3}}=$  

$=\frac{2\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sout{\sqrt{3}}}{\sout{\sqrt{3}}}=\underline{\underline{6}}$