Prawa działań na pierwiastkach $1.\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},a,b\ge 0$   $2.\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},a\ge 0,b>0$   $3.\sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b},a,b\in \mathbb{R}$   $4.\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}},a\in \mathbb{R},b\ne 0$

---

a)

Korzystamy z praw działań na pierwiastkach.

$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}+\sqrt[3]{-\frac{216}{125}}-\sqrt[5]{-\frac{243}{32}}=\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}+\frac{\sqrt[3]{-216}}{\sqrt[3]{125}}-\frac{\sqrt[5]{-243}}{\sqrt[5]{32}}=$

$=\frac{\sqrt[3]{{\left(-2\right)}^3}}{\sqrt[3]{3^3}}+\frac{\sqrt[3]{{\left(-6\right)}^3}}{\sqrt[3]{5^3}}-\frac{\sqrt[5]{{\left(-3\right)}^5}}{\sqrt[5]{2^5}}=\frac{-2}{3}+\frac{-6}{5}-\frac{-3}{2}=\dots$   

Sprowadzamy ułamki w powyższej sumie do wspólnego mianownika, którym jest  3⋅5⋅2=30 i otrzymujemy: 

$\dots =-\frac{2\cdot 10}{3\cdot 10}-\frac{6\cdot 6}{5\cdot 6}+\frac{3\cdot 15}{2\cdot 15}=-\frac{20}{30}-\frac{36}{30}+\frac{45}{30}=\underline{\underline{-\frac{11}{30}}}$  

---

b)

Korzystamy z praw działań na pierwiastkach.

$\sqrt[3]{-1\frac{61}{64}}-\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}+\sqrt[5]{-7\frac{19}{32}}=\dots$

zapisujemy liczby pod znakiem pierwiastka w postaci ułamków niewłaściwych i otrzymujemy:

  $\dots =\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}-\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}+\sqrt[5]{-\frac{243}{32}}=\sqrt[3]{{\left(-\frac{5}{4}\right)}^3}-\sqrt[3]{{\left(-\frac{3}{2}\right)}^3}+\sqrt[5]{{\left(-\frac{3}{2}\right)}^5}=\dots$

$\dots =-\frac{5}{4}-\left(-\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{2}=-\frac{5}{4}+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=\underline{\underline{-\frac{5}{4}}}$   

---

c)

Obliczamy

$\sqrt[3]{2\frac{1}{4}}\cdot \sqrt[3]{-1\frac{1}{2}}-\sqrt[3]{1\frac{7}{9}}\cdot \sqrt[3]{-1\frac{1}{3}}=\dots$

zapisujemy liczby pod znakiem pierwiastka w postaci ułamków niewłaściwych i otrzymujemy:

$\dots =\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\cdot \sqrt[3]{-\frac{3}{2}}-\sqrt[3]{\frac{16}{9}}\cdot \sqrt[3]{-\frac{4}{3}}=\dots$  

korzystamy ze wzoru (3) i mamy:

$\dots =\sqrt[3]{\frac{9}{4}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)}-\sqrt[3]{\frac{16}{9}\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}-\sqrt[3]{-\frac{64}{27}}=\sqrt[3]{{\left(-\frac{3}{2}\right)}^3}-\sqrt[3]{{\left(-\frac{4}{3}\right)}^3}=$  

$=-\frac{3}{2}-\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=-\frac{3\cdot 3}{2\cdot 3}+\frac{4\cdot 2}{3\cdot 2}=-\frac{9}{6}+\frac{8}{6}=\underline{\underline{-\frac{1}{6}}}$  

---

d)

Obliczamy

$\frac{\sqrt[3]{750}}{\sqrt[3]{-6}}+\frac{\sqrt[3]{432}}{\sqrt[3]{-2}}-\frac{\sqrt[3]{-320}}{\sqrt[3]{-5}}=\dots$  

korzystamy z praw działań na pierwiastkach - wzór (4) i otrzymujemy:

$\dots \stackrel{\left(4\right)}{=}\sqrt[3]{\frac{750}{-6}}+\sqrt[3]{\frac{432}{-2}}-\sqrt[3]{\frac{-320}{-5}}=\sqrt[3]{-125}+\sqrt[3]{-216}-\sqrt[3]{64}=$  

$=\sqrt[3]{{\left(-5\right)}^3}+\sqrt[3]{{\left(-6\right)}^3}-\sqrt[3]{4^3}=-5-6-4=\underline{\underline{-15}}$