Wzory skróconego mnożenia

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$   -  kwadrat różnicy $3.\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  -  różnica kwadratów Twierdzenie Pitagorasa: w dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2+b^2=c^2$

---

a)

Obliczamy obwód trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długości

$x=\sqrt{2}+1,y=\sqrt{2}-1$  

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek: 

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:

${\left(\sqrt{2}-1\right)}^2+{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2=c^2$  

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i kwadrat sumy:

${\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^2=c^2$  

$2-\cancel{2\sqrt{2}}+1+2+\cancel{2\sqrt{2}}+1=c^2$  

$6=c^2$  

Stąd

$c=\sqrt{6}$  

Sumujemy długości wszystkich trzech boków trójkąta i w ten sposób otrzymujemy jego obwód.

$L=x+y+c=\underset{x}{\underbrace{\sqrt{2}-1}}+\underset{y}{\underbrace{\sqrt{2}+1}}+\underset{c}{\underbrace{\sqrt{6}}}=\underline{\underline{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}}$  

---

b)

Obliczamy obwód trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długości

$x=2\sqrt{3}-\sqrt{2},y=2\sqrt{2}+\sqrt{3}$  

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:

${\left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2=c^2$  

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i kwadrat sumy:

${\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+2\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=c^2$  

$2^2\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot \sqrt{3\cdot 2}+2+2^2\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2+4\cdot \sqrt{2\cdot 3}+3=c^2$  

$4\cdot 3-\cancel{4\sqrt{6}}+2+4\cdot 2+\cancel{4\sqrt{6}}+3=c^2$  

$12+2+8+3=c^2$  

$25=c^2$  

Stąd

$c=\sqrt{25}=5$  

Sumujemy długości wszystkich trzech boków trójkąta i w ten sposób otrzymujemy jego obwód.

$L=x+y+c=\underset{x}{\underbrace{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}}+\underset{y}{\underbrace{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+\underset{c}{\underbrace{5}}=\underline{\underline{\sqrt{2}+3\sqrt{3}+5}}$