Wzory skróconego mnożenia

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$   -  kwadrat różnicy $3.\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  -  różnica kwadratów

---

a)

Obliczamy wartość wyrażenia.

$\left(2-3\sqrt{3}\right)\left(2-3\sqrt{3}\right)={\left(2-3\sqrt{3}\right)}^2=\dots$

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: 

$\dots \stackrel{2.}{=}{2}^2-2\cdot 2\cdot 3\sqrt{3}+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2=4-12\sqrt{3}+9\cdot 3=4-12\sqrt{3}+27=\underline{\underline{31-12\sqrt{3}}}$   

---

b)

Obliczamy wartość wyrażenia.

$\left(7+5\sqrt{2}\right)\left(5\sqrt{2}+7\right)=\left(7+5\sqrt{2}\right)\left(7+5\sqrt{2}\right)={\left(7+5\sqrt{2}\right)}^2=\dots$

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

  $\dots \stackrel{1.}{=}{7}^2+2\cdot 7\cdot 5\sqrt{2}+{\left(5\sqrt{2}\right)}^2=49+70\sqrt{2}+5^2\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2=$  

$=49+70\sqrt{2}+\underset{50}{\underbrace{25\cdot 2}}=\underline{\underline{99+70\sqrt{2}}}$  

---

c)

Obliczamy wartość wyrażenia.

$\left(4\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(4\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=\dots$  

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$\dots \stackrel{3.}{=}{\left(4\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=4^2\cdot {\left(\sqrt{5}\right)}^2-3=16\cdot 5-3=80-3=\underline{\underline{77}}$  

---

d)

Obliczamy wartość wyrażenia.

$\left(\sqrt{8}+2\sqrt{6}\right)\left(2\sqrt{6}-\sqrt{8}\right)=\left(2\sqrt{6}+\sqrt{8}\right)\left(2\sqrt{6}-\sqrt{8}\right)=\dots$

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$\dots \stackrel{3.}{=}{\left(2\sqrt{6}\right)}^2-{\left(\sqrt{8}\right)}^2=2^2\cdot {\left(\sqrt{6}\right)}^2-8=4\cdot 6-8=24-8=\underline{\underline{16}}$  

---

e)

Obliczamy wartość wyrażenia.

${\left(\sqrt{6}-3\sqrt{3}\right)}^2=\dots$  

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

$\dots \stackrel{2.}{=}{\left(\sqrt{6}\right)}^2-2\cdot \sqrt{6}\cdot 3\sqrt{3}+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2=6-6\sqrt{6\cdot 3}+3^2\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2=6-6\sqrt{18}+9\cdot 3=$  

$=6-6\sqrt{9\cdot 2}+27=\underline{\underline{33-18\sqrt{2}}}$  

---

f)

Obliczamy wartość wyrażenia.

${\left(2\sqrt{32}-3\sqrt{2}\right)}^2=\dots$  

zauważmy, że

$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}$  

zatem

${\left(2\sqrt{32}-3\sqrt{2}\right)}^2={\left(2\cdot 4\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)}^2={\left(8\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)}^2={\left(5\sqrt{2}\right)}^2=$  

$=5^2\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2=25\cdot 2=\underline{\underline{50}}$