Przykład. Dany jest ciąg arytmetyczny $\left(a_n\right)$, określony dla $n\ge 1$, w którym $a_7=-3$
i $a_{31}=69$. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Rozwiązanie

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{a}_7=-3\\ a_{31}=69\end{array}\begin{array}{l}\boxed{a_n=a_1+(n-1)r}\\ a_7=a_1+6r\\ a_{31}=a_1+30r\end{array} \\ \{\begin{array}{l}{a}_1+6r=-3|\cdot (-1)\\ a_1+30r=69\end{array} \\ \underline{\begin{array}{c}\\ {}_{+}\end{array}\{\begin{array}{l}-a_1-6r=3\\ a_1+30r=69\end{array}} \\ 24r=72|:24 \\ r=3 \end{gathered}$$

$a_1+6\cdot 3=-3$
$a_1=-21$

Odp.: $a_1=-21$, $r=3$