W trójkącie prostokątnym:

rys.1.1 (przyprostokątna i przeciwprostokątna)

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

rys. 1.2

 

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

 

---

Jakiś prosty przykład zastosowania tw. Pitagorasa

Przykład 1.Dany jest trójkąt prostokątny o jednej przyprostokątnej długości $\sqrt{5}$ i przeciwprostokątnej długości $2\sqrt{5}$. Oblicz pole tego trójkąta.

Rozwiązanie

rys.2

${\left(\sqrt{5}\right)}^2+x^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2$  

$5+x^2=4\cdot 5$

$5+x^2=20$   

$x^2=15|\sqrt{},x>0$

$x=\sqrt{15}$

$P=\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{15}}{2}=\frac{\sqrt{75}}{2}=\frac{\sqrt{25\cdot 3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

---

Twierdzenie 

Dany jest trójkąt o bokach długości $a$, $b$ i $c$takich, że $a\le b\le c$.

Jeśli $a^2+b^2<c^2$, to trójkąt jest rozwartokątny, a jeśli $a^2+b^2>c^2$, to trójkąt jest ostrokątny.

nie ma w kartach wzorów

---

Przykład 2. Sprawdź, czy trójkąt o bokach długości $3$, $2+\sqrt{3}$ i $3\sqrt{3}$ jest prostokątny, ostrokątny, czy rozwartokątny.

Rozwiązanie

$3^2+{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2=9+4+4\sqrt{3}+3=16+4\sqrt{3}\approx 16+4\cdot 1,7=16+6,8=22,8$

${\left(3\sqrt{3}\right)}^2=9\cdot 3=27$

$3^2+{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2<{\left(3\sqrt{3}\right)}^2$ 

Odp.: Podany trójkąt jest rozwartokątny.

---

Zadanie 1. Na poniższym rysunku dany jest trójkąt $ABC$, w którym bok $AC$ ma długość $5$, a wysokość $CD$ tego trójkąta dzieli bok $AB$ na odcinki $AD$ i $DB$. Wiadomo, że $\left|AD\right|=4$, a $\left|BD\right|=6$.

 

 rys. 3.1 i 3.2

 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Bok $BC$ ma długość

A. $5\sqrt{3}$                  B. $3\sqrt{5}$                  C. $3\sqrt{3}$                  D. $5\sqrt{5}$   

Rozwiązanie

Niech $\left|CD\right|=x$, $\left|BC\right|=y$

$5^2+x^2=4^2$  

$25+x^2=16$   

$x^2=9|\sqrt{},x>0$

$x=3$

$3^2+6^2=y^2$

$9+36=y^2$

$45=y^2|\sqrt{},y>0$

$y=\sqrt{45}$

$y=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$

---

Zadanie 2. W czworokącie $ABCD$: $\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|AD\right|=15$ (zobacz rysunek). Dodatkowo przekątna $BD$ tego czworokąta o długości $24$ jest prostopadła do boku $BC$.

rys.4.1-4.2 i 4.5

Zadanie. 2.1. Tangens kąta $BCD$ tego czworokąta wynosi 

A. $\frac{4}{5}$                  B. $\frac{5}{8}$                  C. $1$                  D. $\frac{8}{5}$   

 Rozwiązanie

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{24}{15}=\frac{8}{5}$ 

Zadanie. 2.2.  Oblicz pole czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

rys.4.2-4.4

Rozwiązanie

$x^2+12^2=15^2$  

$x^2+144=225|-144$   

$x^2=81|\sqrt{},x>0$

$x=9$

$P=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 9+\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 15=12\cdot 9+12\cdot 15=108+180=288$ 

Odp.: Pole czworokąta $ABCD$ wynosi $288$.

---

Zadanie 3. Dany jest trójkąt $PQR$ podobny do trójkąta $ABC$ w skali $3:1$. Wiadomo, że przyprostokątne trójkąta $ABC$ mają długości $8\mathrm{cm}$ i $12\mathrm{cm}$. 

Uzupełnij zdanie. Wpisz w wykropkowane miejsca odpowiednie litery spośród A-F tak, aby zdanie było prawdziwe.

Przeciwprostokątna trójkąta $PQR$ jest równa ……….. $\mathrm{cm}$, natomiast najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość ………. $\mathrm{cm}$.

A. $12\sqrt{13}$                                             B. $24$                                          C. $4\sqrt{13}$                 
D. $\frac{36\sqrt{2}}{2}$                                              E. $\frac{72\sqrt{13}}{13}$                                          F. $36\sqrt{2}$                 

Rozwiązanie

 $8^2+12^2=x^2$

$64+144=x^2$

$208=x^2|\sqrt{},x>0$

$x=\sqrt{208}$

$x=\sqrt{16\cdot 13}=4\sqrt{13}$

$\left|QR\right|=3\cdot 4\sqrt{13}=12\sqrt{13}$

$P=\frac{24\cdot 36}{2}$

$P=\frac{12\sqrt{13}\cdot h}{2}$

$\frac{24\cdot 36}{2}=\frac{12\sqrt{13}\cdot h}{2}$

$864=12\sqrt{13}\cdot h$

$h=\frac{864}{12\sqrt{13}}=\frac{72}{\sqrt{13}}$

$h=\frac{72}{\sqrt{13}}\cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\frac{72\sqrt{13}}{13}$

---

 Zadanie 4. Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości: $2-\sqrt{2}$, $2\sqrt{3}$ i $2+\sqrt{2}$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt $ABC$ jest

A.	ostrokątny,	ponieważ	1.	${\left(2-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2$.
B.	prostokątny,		2.	${\left(2+\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2<{\left(2-\sqrt{2}\right)}^2$.
C.	rozwartokątny,		3.	${\left(2-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2>{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2$.

 Rozwiązanie

$2-\sqrt{2}<2+\sqrt{2}<2\sqrt{3}$ 

${\left(2-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2=4-4\sqrt{2}+2+4+4\sqrt{2}+2=12$

${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=4\cdot 3=12$

Zatem ${\left(2-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2$, więc trójkąt $ABC$ jest prostokątny.