II liceum

II technikum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

a) Obliczmy wartość setnego wyrazu tego ciągu: a100​=7−52⋅100​=7−5200​=7−40=−33 &nbsp; &nbsp;

Obliczmy ile wyrazów ciągu an jest mniejszych od 100: n2−30n+300&lt;100 &nbsp; n2−30n+200&lt;0 &nbsp; &nbsp; Δ=(−30)2−4⋅1⋅200=900−800=100 &nbsp; Δ<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=10 &nbsp; n1​=230−10​=220​=10 &nbsp; n2​=230+10​=240​=20 &nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98683/Nvv6/K37N1aP3qR2nUvAkw%3D%3D_f580c9bdebe0d3bb87f7bc4b20dfeb45d90dcc72f5629726061a2d5915f7ceed.jpg" alt="" width="499" height="263"> n∈(10;20) &nbsp; Ciąg an ma 9 wyrazów mniejszych od 100.

Zauważmy, że: a1​=4⋅12−3=4−3=1 &nbsp; &nbsp;

Wiemy, że ciąg an jest malejący zatem: an+1​−an​&lt;0 &nbsp; oraz&nbsp;&nbsp;

a) a1​=5, an+1​=−an​ &nbsp; zatem: a2​=−5 &nbsp; &nbsp;

Zauważmy, że: a2​=0,4+0,5=0,9 &nbsp; &nbsp;

Ciąg trzech wyrazów jest arytmetyczny, jeśli drugi wyraz jest średnią arytmetyczną pierwszego i trzeciego wyrazu tego ciągu:&nbsp;&nbsp; p+5=2(5p−4)+2​  ∣⋅2 &nbsp; 2p+10=5p−2 &nbsp; −3p=−12 &nbsp; p=4 &nbsp; &nbsp; Odp.: Podane wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny dla p=4.&nbsp;

a) Obliczmy wartość różnicy tego ciągu: a3​−a2​=5−7=−2 &nbsp; &nbsp; Obliczmy wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:&nbsp;&nbsp;

Wiemy, że: Sn​ &nbsp;-suma n wyrazów ciągu, zatem: Sn+1​−Sn​=an+1​ &nbsp; zatem:&nbsp;&nbsp;

Zauważmy, że: 500:7≈71,4 &nbsp; zatem mamy 72 liczby naturalne mniejsze od 500 i podzielne przez 7 (wliczamy również liczbę 0)&nbsp;

Zauważmy, że kwoty, które dorzucano do skarbonki tworzą ciąg arytmetyczny, gdzie: a1​=50 gr &nbsp; r=10 gr &nbsp; &nbsp; Obliczmy jaką kwotę dorzucono do skarbonki w ostatnim tygodniu:&nbsp; &nbsp;

Zauważmy, że: f(1)=3⋅1+7=3+7=10 &nbsp; &nbsp;&nbsp; f(2)=3⋅2+7=6+7=13 &nbsp; f(3)=3⋅3+7=9+7=16 &nbsp; &nbsp; Zauważmy, że kolejne liczby różnią się o 3, zatem jest to ciąg arytmetyczny o wzorze ogólnym: an​=10+(n−1)⋅3 &nbsp; an​=10+3n−3 &nbsp; an​=3n+7 &nbsp;

Przyjmijmy, że: b1​=a5​ &nbsp; b2​=a10​ &nbsp;

Sumę ciągu arytmetycznego możemy zapisać w postaci: Sn​=2a1​+a1​+(n−1)⋅r​⋅n &nbsp; &nbsp; Sumę pierwszego ciągu możemy zapisać w postaci:&nbsp; &nbsp;

Sprawdźmy czy ciąg an jest geometryczny: an​an+1​​=1+2n1+2n+1​=1+2n1+2n⋅2​ &nbsp; &nbsp;

Wiemy, że an jest ciągiem geometrycznym, zatem: an​=a1​⋅qn−1 &nbsp; więc:&nbsp;&nbsp;

Zauważmy, że objętości wody w każdej kolejnej szklance tworzą ciąg geometryczny, gdzie: a1​=1 &nbsp; &nbsp;

a) Obliczmy wartość setnego wyrazu tego ciągu: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/76f0caed295ed654d21a7c2ab0b5534215ffbd1af5fd43dd4e4c9804bc800949_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/76f0caed295ed654d21a7c2ab0b5534215ffbd1af5fd43dd4e4c9804bc800949_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;

Obliczmy ile wyrazów ciągu an jest mniejszych od 100: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/38f872c8ad69967625660f616854162ae73b499bccb7fc53b67745255eb38f6a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/38f872c8ad69967625660f616854162ae73b499bccb7fc53b67745255eb38f6a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/88fc9023566ab6937567dadf48c3d739735fb8da1bdf6c2ae40b1abe02cf1894_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/88fc9023566ab6937567dadf48c3d739735fb8da1bdf6c2ae40b1abe02cf1894_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/665ccbd33cb83f3e94ab16a2b490d40682b45e3c5791839b101c022d3629e913_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/665ccbd33cb83f3e94ab16a2b490d40682b45e3c5791839b101c022d3629e913_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/733e242d226088f24f6a3862d374d1d89a74a48a9f99f6f52d55c8ad29c2a95e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/733e242d226088f24f6a3862d374d1d89a74a48a9f99f6f52d55c8ad29c2a95e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3cc47c14641c443db58c845157682366d81e8913e04c206a639e267aca56b330_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3cc47c14641c443db58c845157682366d81e8913e04c206a639e267aca56b330_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/36b314033a9948fa9f3546d75c5628bbc23d9ca66d1ab0763983a05616dc08f2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/36b314033a9948fa9f3546d75c5628bbc23d9ca66d1ab0763983a05616dc08f2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98683/Nvv6/K37N1aP3qR2nUvAkw%3D%3D_f580c9bdebe0d3bb87f7bc4b20dfeb45d90dcc72f5629726061a2d5915f7ceed.jpg" alt="" width="499" height="263"> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a4e9daecda25142a724df4dab0a54e6ad7e864da1d13ef1ab3129da89dad9c6d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a4e9daecda25142a724df4dab0a54e6ad7e864da1d13ef1ab3129da89dad9c6d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Ciąg an ma 9 wyrazów mniejszych od 100.

Zauważmy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/724c2a8310469c0a37912515acb4db360b1e3c52a72b126ce19e7076b4708c65_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/724c2a8310469c0a37912515acb4db360b1e3c52a72b126ce19e7076b4708c65_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;

Wiemy, że ciąg an jest malejący zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c6389130ceff614954f1b812f18fefacead8c8dc3ec780ed03d2f03fbb03eaa2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c6389130ceff614954f1b812f18fefacead8c8dc3ec780ed03d2f03fbb03eaa2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; oraz&nbsp;&nbsp;

Zauważmy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3f13667d2910f7b1b20913802f1c03fa47be73fabd03f2bcf5daf56ba6e9b938_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3f13667d2910f7b1b20913802f1c03fa47be73fabd03f2bcf5daf56ba6e9b938_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;

Ciąg trzech wyrazów jest arytmetyczny, jeśli drugi wyraz jest średnią arytmetyczną pierwszego i trzeciego wyrazu tego ciągu:&nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/27b21bda386fe7416458d482832b14720137ba98d35f4a5d98ac3add13c8d05a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/27b21bda386fe7416458d482832b14720137ba98d35f4a5d98ac3add13c8d05a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/db44df7a21d8c7fdfb1b963dffadccfd78ef0bbd9fc169135dacec1042747963_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/db44df7a21d8c7fdfb1b963dffadccfd78ef0bbd9fc169135dacec1042747963_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/aaff6fdd88afb5f85816da1075130f6f5273ea27d9b0fc2432607dfc723ad541_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/aaff6fdd88afb5f85816da1075130f6f5273ea27d9b0fc2432607dfc723ad541_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe265691554c69b95c4017b4704748800570862b6632a8e8b406fedb880e0c67_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe265691554c69b95c4017b4704748800570862b6632a8e8b406fedb880e0c67_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Odp.: Podane wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny dla p=4.&nbsp;

a) Obliczmy wartość różnicy tego ciągu: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/637e99ab937ccdb7a009a914ce30bf37e7ffef020d06a4202b8bcad96ed3097d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/637e99ab937ccdb7a009a914ce30bf37e7ffef020d06a4202b8bcad96ed3097d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Obliczmy wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:&nbsp;&nbsp;

Wiemy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8c0785670c74cfb36af70e113c08f4739aa8ae5ddef33d6b0f698d5ce9e1e0fa_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8c0785670c74cfb36af70e113c08f4739aa8ae5ddef33d6b0f698d5ce9e1e0fa_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;-suma n wyrazów ciągu, zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ca0ce15c99ca489539da0eeb8b4e07f0e922f5aa9cf22e3c6be23ae36e6a44eb_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ca0ce15c99ca489539da0eeb8b4e07f0e922f5aa9cf22e3c6be23ae36e6a44eb_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; zatem:&nbsp;&nbsp;

Zauważmy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/47562a4b13607615f5513983e26db2bdd17c4c3d35173d18dbbffdeb0e592581_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/47562a4b13607615f5513983e26db2bdd17c4c3d35173d18dbbffdeb0e592581_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; zatem mamy 72 liczby naturalne mniejsze od 500 i podzielne przez 7 (wliczamy również liczbę 0)&nbsp;

Zauważmy, że kwoty, które dorzucano do skarbonki tworzą ciąg arytmetyczny, gdzie: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0e554ec80de0a71e0c3feef4c8dfb109281ac9df4bc2896cd6c429a548a4e2bf_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0e554ec80de0a71e0c3feef4c8dfb109281ac9df4bc2896cd6c429a548a4e2bf_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/07bc9a9982dfb3391fe8c1b5b775bb374b2b5ba524b91c97f36e6b05aeba7b31_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/07bc9a9982dfb3391fe8c1b5b775bb374b2b5ba524b91c97f36e6b05aeba7b31_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Obliczmy jaką kwotę dorzucono do skarbonki w ostatnim tygodniu:&nbsp; &nbsp;

Zauważmy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4626dfdc0ec81901018de4a92040950a46c692786afed2b338db524123401800_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4626dfdc0ec81901018de4a92040950a46c692786afed2b338db524123401800_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fa885f8c7df9eda8805945800a3a8a7b5210cfe723df9f34766929536ad643fe_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fa885f8c7df9eda8805945800a3a8a7b5210cfe723df9f34766929536ad643fe_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4b022eff0b3517f7ad40f0abff0fc3c530d339a22ad77b65d2b57f8b677c263d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4b022eff0b3517f7ad40f0abff0fc3c530d339a22ad77b65d2b57f8b677c263d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Zauważmy, że kolejne liczby różnią się o 3, zatem jest to ciąg arytmetyczny o wzorze ogólnym: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/903d3d6b6e7ec22c3f79c77613322b6e47476e353a06dd1a2882266ee43f5db1_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/903d3d6b6e7ec22c3f79c77613322b6e47476e353a06dd1a2882266ee43f5db1_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5a56160289d465122760fdfe10a464c0bbc39e92b9a69f03643ff07961d0de4e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5a56160289d465122760fdfe10a464c0bbc39e92b9a69f03643ff07961d0de4e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a0b6cc3b711680904996206e943023e5be95887086c4b700c0d73d13f624fe40_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a0b6cc3b711680904996206e943023e5be95887086c4b700c0d73d13f624fe40_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Przyjmijmy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3b932688c15bbe2903431039aced67cbe9306c04d98fc8ee69e1ad7cc40f6e7c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3b932688c15bbe2903431039aced67cbe9306c04d98fc8ee69e1ad7cc40f6e7c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6b512ac83503fd00ef080e7f8fe3221faa00c76efbef36ef66972af96d24ae74_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6b512ac83503fd00ef080e7f8fe3221faa00c76efbef36ef66972af96d24ae74_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Sumę ciągu arytmetycznego możemy zapisać w postaci: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d21b26b6e11bbc9a00fa33db7b82062d0f8be9546a3ab8866144d8933af1e8a5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d21b26b6e11bbc9a00fa33db7b82062d0f8be9546a3ab8866144d8933af1e8a5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Sumę pierwszego ciągu możemy zapisać w postaci:&nbsp; &nbsp;

Sprawdźmy czy ciąg an jest geometryczny: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9217d31874ed7babe6cbbad7d59a9c300a4e656fe65d1c23d86ef340c1b13dd0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9217d31874ed7babe6cbbad7d59a9c300a4e656fe65d1c23d86ef340c1b13dd0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;

Wiemy, że an jest ciągiem geometrycznym, zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/229590402de99d1f4478fabfaa744ea8d25ad5ecab7be24ca79e2386a24c6c8b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/229590402de99d1f4478fabfaa744ea8d25ad5ecab7be24ca79e2386a24c6c8b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; więc:&nbsp;&nbsp;

Wprowadźmy oznaczenia: an&nbsp;-ciąg geometryczny wiemy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/02edb7cc1583fb696674308773426e7a1721ec7e943f3a4b1e387b544770145b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/02edb7cc1583fb696674308773426e7a1721ec7e943f3a4b1e387b544770145b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; zatem:&nbsp; &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3525f6fdc75338a8ab0e4144cbdfc54948217518055dd1ab08c395afc2e4fc57_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3525f6fdc75338a8ab0e4144cbdfc54948217518055dd1ab08c395afc2e4fc57_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/77d243a5c9773e8406a2f529d67559533936be12d4875f963241bd930aaef107_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/77d243a5c9773e8406a2f529d67559533936be12d4875f963241bd930aaef107_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c43e388376a58a50a0b5cba367989c8b7fec33ec2f99b88637baae2383f40da8_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c43e388376a58a50a0b5cba367989c8b7fec33ec2f99b88637baae2383f40da8_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2f195e55dfa76fbb074a1d4d644c6280bdc6a3720dc2cda1fd9141ab28ffcde6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2f195e55dfa76fbb074a1d4d644c6280bdc6a3720dc2cda1fd9141ab28ffcde6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/77d81c2fcf6f3ee715db91f497bd11f135196f1aa00f78e37b5927d418a83b78_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/77d81c2fcf6f3ee715db91f497bd11f135196f1aa00f78e37b5927d418a83b78_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; czyli: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6b9a278ad79f946ee84443a29ec77aa633163053d58c3824cfcdd2547c3aa1e2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6b9a278ad79f946ee84443a29ec77aa633163053d58c3824cfcdd2547c3aa1e2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Treść zadania sugeruje, że ciąg an jest rosnący, zatem dwudziesty wyraz tego ciągu jest 1024 razy większy od dziesiątego wyrazu tego ciągu.

Zauważmy, że objętości wody w każdej kolejnej szklance tworzą ciąg geometryczny, gdzie: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/659186ce74971a9a39638fbf6c5c4ff1f8520c5c569cf1ddc8c58a44dc63da75_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/659186ce74971a9a39638fbf6c5c4ff1f8520c5c569cf1ddc8c58a44dc63da75_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;

Komentarze