II liceum

II technikum

2 szkoły średniej

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

a) Obliczmy wartość setnego wyrazu tego ciągu: a100​=7−52⋅100​=7−5200​=7−40=−33 &nbsp; &nbsp;

Obliczmy ile wyrazów ciągu an jest mniejszych od 100: n2−30n+300&lt;100 &nbsp; n2−30n+200&lt;0 &nbsp; &nbsp; Δ=(−30)2−4⋅1⋅200=900−800=100 &nbsp; Δ<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=10 &nbsp; n1​=230−10​=220​=10 &nbsp; n2​=230+10​=240​=20 &nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98683/Nvv6/K37N1aP3qR2nUvAkw%3D%3D_f580c9bdebe0d3bb87f7bc4b20dfeb45d90dcc72f5629726061a2d5915f7ceed.jpg" alt="" width="499" height="263"> n∈(10;20) &nbsp; Ciąg an ma 9 wyrazów mniejszych od 100.

Zauważmy, że: a1​=4⋅12−3=4−3=1 &nbsp; &nbsp;

Wiemy, że ciąg an jest malejący zatem: an+1​−an​&lt;0 &nbsp; oraz&nbsp;&nbsp;

a) a1​=5, an+1​=−an​ &nbsp; zatem: a2​=−5 &nbsp; &nbsp;

Zauważmy, że: a2​=0,4+0,5=0,9 &nbsp; &nbsp;

Ciąg trzech wyrazów jest arytmetyczny, jeśli drugi wyraz jest średnią arytmetyczną pierwszego i trzeciego wyrazu tego ciągu:&nbsp;&nbsp; p+5=2(5p−4)+2​  ∣⋅2 &nbsp; 2p+10=5p−2 &nbsp; −3p=−12 &nbsp; p=4 &nbsp; &nbsp; Odp.: Podane wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny dla p=4.&nbsp;

a) Obliczmy wartość różnicy tego ciągu: a3​−a2​=5−7=−2 &nbsp; &nbsp; Obliczmy wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:&nbsp;&nbsp;

Wiemy, że: Sn​ &nbsp;-suma n wyrazów ciągu, zatem: Sn+1​−Sn​=an+1​ &nbsp; zatem:&nbsp;&nbsp;

Zauważmy, że: 500:7≈71,4 &nbsp; zatem mamy 72 liczby naturalne mniejsze od 500 i podzielne przez 7 (wliczamy również liczbę 0)&nbsp;

Zauważmy, że kwoty, które dorzucano do skarbonki tworzą ciąg arytmetyczny, gdzie: a1​=50 gr &nbsp; r=10 gr &nbsp; &nbsp; Obliczmy jaką kwotę dorzucono do skarbonki w ostatnim tygodniu:&nbsp; &nbsp;

Zauważmy, że: f(1)=3⋅1+7=3+7=10 &nbsp; &nbsp;&nbsp; f(2)=3⋅2+7=6+7=13 &nbsp; f(3)=3⋅3+7=9+7=16 &nbsp; &nbsp; Zauważmy, że kolejne liczby różnią się o 3, zatem jest to ciąg arytmetyczny o wzorze ogólnym: an​=10+(n−1)⋅3 &nbsp; an​=10+3n−3 &nbsp; an​=3n+7 &nbsp;

Przyjmijmy, że: b1​=a5​ &nbsp; b2​=a10​ &nbsp;

Sumę ciągu arytmetycznego możemy zapisać w postaci: Sn​=2a1​+a1​+(n−1)⋅r​⋅n &nbsp; &nbsp; Sumę pierwszego ciągu możemy zapisać w postaci:&nbsp; &nbsp;

Sprawdźmy czy ciąg an jest geometryczny: an​an+1​​=1+2n1+2n+1​=1+2n1+2n⋅2​ &nbsp; &nbsp;

Wiemy, że an jest ciągiem geometrycznym, zatem: an​=a1​⋅qn−1 &nbsp; więc:&nbsp;&nbsp;

Zauważmy, że objętości wody w każdej kolejnej szklance tworzą ciąg geometryczny, gdzie: a1​=1 &nbsp; &nbsp;

3 szkoły podstawowej

4 szkoły podstawowej

5 szkoły podstawowej

6 szkoły podstawowej

7 szkoły podstawowej

8 szkoły podstawowej

1 szkoły średniej

3 szkoły średniej

4 szkoły średniej

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Komentarze