II liceum

II technikum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

a) Obliczmy wartość setnego wyrazu tego ciągu:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/3c8c6ff7-bcb5-4d86-97a0-9482e45cb410_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/3c8c6ff7-bcb5-4d86-97a0-9482e45cb410_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Obliczmy ile wyrazów ciągu an jest mniejszych od 100:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/50b6aac2-7822-4a0e-8341-a224aec92ec5_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/4cf56ff4-bef1-48c2-a182-3456c8871d1d_small.svg" type="image/svg+xml"></object>    
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/294553bb-fa04-4c66-a7e7-f034eac17227_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/294553bb-fa04-4c66-a7e7-f034eac17227_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/fb944eb3-ec51-4e75-b405-3319ee68ce25_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/f6977ecc-9f56-4b29-b073-b830bb0e2e5a_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/f6977ecc-9f56-4b29-b073-b830bb0e2e5a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/ff7305bb-9a0f-421f-9ac2-83a464b3bfa2_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/ff7305bb-9a0f-421f-9ac2-83a464b3bfa2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<img src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/166823/zad2s322.jpg" alt="" width="499" height="263">
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/57d90e92-85f5-4725-b640-91e163616d6c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Ciąg an ma 9 wyrazów mniejszych od 100.

Zauważmy, że:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/82ee4962-56ff-4b2c-9dfe-9e794a355633_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Wiemy, że ciąg an jest malejący zatem:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200123/f28ae3e2-4f79-431f-b6ce-36842bffb9e4_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
oraz

Zauważmy, że:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/4214d5ee-c908-4be6-a755-15f05f481dba_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Ciąg trzech wyrazów jest arytmetyczny, jeśli drugi wyraz jest średnią arytmetyczną pierwszego i trzeciego wyrazu tego ciągu:   
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/015a1760-5732-4d8d-89dc-165e3d73a674_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/015a1760-5732-4d8d-89dc-165e3d73a674_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/596a83fa-61c8-486e-a21e-e3ac68ba14c2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/20969ff8-d516-46ac-86b5-6a59e2b8cf58_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/8ad6e289-9f2c-4ffc-a219-ad8528a1e3f4_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 
Odp.: Podane wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny dla p=4.

a) Obliczmy wartość różnicy tego ciągu:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200327/61e1c0d7-b4ab-47e4-866e-91b2aaf5b36f_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 
Obliczmy wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:

Wiemy, że:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200123/3383cc31-5a66-4a83-95f9-36b1e6b1268a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> -suma n wyrazów ciągu, zatem:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200123/931d20d4-a422-4969-a8b4-a4b984ae5a3d_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
zatem:

Zauważmy, że:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200108/123b25fa-99c7-4f13-9051-33ad48f0388c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
zatem mamy 72 liczby naturalne mniejsze od 500 i podzielne przez 7 (wliczamy również liczbę 0)

Zauważmy, że kwoty, które dorzucano do skarbonki tworzą ciąg arytmetyczny, gdzie:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/89cf2587-82e1-4291-8171-f796a7dc6374_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/9043184c-e0b8-43f0-bed2-3cdac2726f1a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 
Obliczmy jaką kwotę dorzucono do skarbonki w ostatnim tygodniu:

Zauważmy, że:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/fb8ec01d-7bd3-4e65-945d-831c6a1e3448_small.svg" type="image/svg+xml"></object>     
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/d699dd7c-1063-4383-9568-a401768cf56b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/640ba5e9-738e-4ca9-91d8-36bdad81ef62_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 
Zauważmy, że kolejne liczby różnią się o 3, zatem jest to ciąg arytmetyczny o wzorze ogólnym:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/3e67ff84-5457-49fe-8c3d-c7ab3c783020_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/678072f1-10c2-46fe-a18a-90d78c3fda21_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/9f13b75a-1246-406f-838d-504e5b9c2419_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Przyjmijmy, że:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20210128/47c0792f-ccd8-4750-8cb0-1e3334026c44_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20210128/e3be6675-bd82-42f7-ab8a-04a123a47a61_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Sumę ciągu arytmetycznego możemy zapisać w postaci:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/2ba2b76a-1075-44c3-b1c0-fbb4c30771de_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/2ba2b76a-1075-44c3-b1c0-fbb4c30771de_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 
Sumę pierwszego ciągu możemy zapisać w postaci:

Sprawdźmy czy ciąg an jest geometryczny:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/039fc9bb-a858-4ddf-81f5-26ebff390805_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/039fc9bb-a858-4ddf-81f5-26ebff390805_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Wiemy, że an jest ciągiem geometrycznym, zatem:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/e5235c08-8f9c-4bb8-95a4-5746ee7cecd5_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
więc:

Wprowadźmy oznaczenia:
an -ciąg geometryczny
wiemy, że:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/fa745cc5-15dd-4c7c-ad06-fe88e3c169e6_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
zatem:    
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/f4d8444d-c9cc-4014-9714-52bce93336ad_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/4785b4f3-f18b-4b6c-b3b7-672b7e6cae4b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/cac05d63-b0c7-4e90-b3cb-70d4427d7a44_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 
więc:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/c4f45578-32ec-4a6f-ada1-51ba6621b430_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/3f775f56-68b7-4386-992c-9e7de0a66ed8_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/3f775f56-68b7-4386-992c-9e7de0a66ed8_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
czyli:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/23643da8-853f-4211-afe9-b3abe96bdfa7_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200109/23643da8-853f-4211-afe9-b3abe96bdfa7_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 
Treść zadania sugeruje, że ciąg an jest rosnący, zatem dwudziesty wyraz tego ciągu jest 1024 razy większy od dziesiątego wyrazu tego ciągu.

Zauważmy, że objętości wody w każdej kolejnej szklance tworzą ciąg geometryczny, gdzie:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200123/1859e9bb-86a9-4fb6-bd2a-f4b2909f1092_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Komentarze