$a)$

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki, które pozwolą opuścić wartość bezwzględną ze zmianą lub bez zmiany znaku. 

 

$1)x\in \left(-\infty ;0\right)$

$2\cdot \left|x\right|\le x^3-x^2-4x$

$-2x\le x^3-x^2-4x\mid +2x$

$0\le x^3-x^2-2x$

$x^3-x^2-2x\ge 0$

$x\underset{x_2=\frac{1+3}{2}=2}{\underset{x_1=\frac{1-3}{2}=-1}{\underset{\sqrt{\Delta }=3}{\underset{=1+8=9}{\underset{\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=}{\underbrace{\left(x^2-x-2\right)}}}}}}\ge 0$

$x\left(x+1\right)\left(x-2\right)\ge 0$

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności nieparzystej (krotności 1).

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in ⟨-1;0⟩\cup ⟨2;+\infty )$

Należy jednak pamiętać, że nierówność była rozpatrywana w danym zbiorze:

$(x\in ⟨-1;0>\cup ⟨2;+\infty )\text{i}x\in \left(-\infty ;0\right))\Rightarrow \underline{\underline{x\in ⟨-1;0)}}$