Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Musimy obliczyć pierwsze współrzędne punktów, w których funkce f i g są równe (zauważmy, że z rysunku nie możemy odczytać wszystkich współrzędnych). Funkcja f opisana jest wartością bezwzględną, więc musimy rozpatrzeć dwa przypadki (w zależności od znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną, opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą lub bez zmiany znaku). 

Sprawdźmy więc, kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną przyjmuje wartość ujemną.

`x(x+1)(x-2)<0` 

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności nieparzystej (krotności 1).

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`x in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

 

 

 

Mamy więc już te dwa przypadki:

`x(x+1)(x-2)<0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

`x(x+1)(x-2)>=0\ \ \ <=>\ \ \ x in <<-1;\ 0>>uu<<2;\ +infty)` 

 

 

Szukamy rozwiązań równania f(x)=g(x). 

Zanim przejdziemy dalej, wykonajmy jeszcze mnożenie:

`f(x)=|x(x+1)(x-2)|=|(x^2+x)(x-2)|=|x^3-2x^2+x^2-2x|=|x^3-x^2-2x|`  

 

`1)\ x in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

`\ \ \ \ |x^3-x^2-2x|=x^4-5x^2+4` 

`\ \ \ \ -(x^3-x^2-2x)=x^4-5x^2+4` 

`\ \ \ \ -x^3+x^2+2x=x^4-5x^2+4\ \ \ \ |-x^4+5x^2-4` 

`\ \ \ \ -x^4-x^3+6x^2+2x-4=0\ \ \ |*(-1)` 

`\ \ \ \ x^4+x^3-6x^2-2x+4=0` 

`\ \ \ \ x^4+x^3-4x^2-2x^2-2x+4=0`  

`\ \ \ \ x^4+x^3-4x^2+4-2x^2-2x=0`    

`\ \ \ \ x^3(x+1)-4(x^2-1)-2x(x+1)=0` 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`\ \ \ \ x^3(x+1)-4(x-1)(x+1)-2x(x+1)=0` 

Wyciągamy (x+1) przed nawias:

`\ \ \ \ (x+1)(x^3-4(x-1)-2x)=0` 

`\ \ \ \ (x+1)(x^3-4x+4-2x)=0` 

`\ \ \ \ (x+1)#underbrace((x^3-6x+4))_(w(x))=0`  

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 4. Dzielniki 4 to -4, -2, -1, 1, 2, 4. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w:

 `w(1)=1^3-6*1+4=1-6+4=-1ne0` 

`w(2)=2^3-6*2+4=8-12+4=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x+1)(x-2)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ 2x\ -\ 2))_(Delta=2^2-4*1*(-2)=))_(=4+8=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(-2-2sqrt3)/2=-1-sqrt3))_(x_2=-1+sqrt3)=0` 

`(x+1)(x-2)(x+1+sqrt3)(x+1-sqrt3)=0` 

`x=-1notin (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=2notin (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=#(-1-sqrt3)^(^(~~-1-1,73=-2,73))in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=#(-1+sqrt3)^(^(~~-1+1,73=0,73))in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

 

W zadanym przedziale mamy więc dwa rozwiązania: 

`ul(ul(x =-1-sqrt3))\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ ul(ul(x=-1+sqrt3))`  

 

 

 

`2)\ \ \ \ x in <<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)`  

`\ \ \ \ |x^3-x^2-2x|=x^4-5x^2+4 ` 

`\ \ \ \ x^3-x^2-2x=x^4-5x^2+4\ \ \ \ \ \ |-x^4+5x^2-4` 

`\ \ \ \ #underbrace(-x^4+x^3+4x^2-2x-4)_(u(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu u jest równy -4. Dzielniki -4 to -4, -2, -1, 1, 2, 4. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu u:

`u(1)=-1^4+1^3+4*1^2-2*1-4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-1+1+4-2-4=-2ne0` 

`u(2)=-2^4+2^3+4*2^2-2*2-4=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =-16+8+4*4-4-4=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =-16+8+16-8=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-2)(-x^3-x^2+2x+2)=0\ \ \ \ |*(-1)` 

`(x-2)(x^3+x^2-2x-2)=0` 

`(x-2)(x^2(x+1)-2(x+1))=0` 

`(x-2)(x+1)(x^2-2)=0` 

`(x-2)(x+1)(x-sqrt2)(x+sqrt2)=0`  

`x=2in<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-1in<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=#(sqrt2)^(^(~~1,41))notin<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=#(-sqrt2)^(^(~~-1,41))notin<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)` 

   

W zadanym przedziale mamy więc dwa rozwiązania: 

`ul(ul(x =2))\ \ \ "lub"\ \ \ ul(ul(x=-1))` 

 

Mamy więc cztery puntky przecięcia wykresów funkcji f oraz g, uporządkujmy je rosnąco. 

`x=-1-sqrt3,\ \ \ \ x=-1,\ \ \ \ x=-1+sqrt3,\ \ \ \ x=2` 

 

Możemy teraz odczytać zbiór rozwiązań nierówności: 

`f(x)>g(x)\ \ \ <=>\ \ \ x in (-1-sqrt3;\ -1)uu(-1+sqrt3;\ 2)`