Matematyka

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Musimy obliczyć pierwsze współrzędne punktów, w których funkce f i g są równe (zauważmy, że z rysunku nie możemy odczytać wszystkich współrzędnych). Funkcja f opisana jest wartością bezwzględną, więc musimy rozpatrzeć dwa przypadki (w zależności od znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną, opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą lub bez zmiany znaku). 

Sprawdźmy więc, kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną przyjmuje wartość ujemną.

`x(x+1)(x-2)<0` 

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności nieparzystej (krotności 1).

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`x in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

 

 

 

Mamy więc już te dwa przypadki:

`x(x+1)(x-2)<0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

`x(x+1)(x-2)>=0\ \ \ <=>\ \ \ x in <<-1;\ 0>>uu<<2;\ +infty)` 

 

 

Szukamy rozwiązań równania f(x)=g(x). 

Zanim przejdziemy dalej, wykonajmy jeszcze mnożenie:

`f(x)=|x(x+1)(x-2)|=|(x^2+x)(x-2)|=|x^3-2x^2+x^2-2x|=|x^3-x^2-2x|`  

 

`1)\ x in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

`\ \ \ \ |x^3-x^2-2x|=x^4-5x^2+4` 

`\ \ \ \ -(x^3-x^2-2x)=x^4-5x^2+4` 

`\ \ \ \ -x^3+x^2+2x=x^4-5x^2+4\ \ \ \ |-x^4+5x^2-4` 

`\ \ \ \ -x^4-x^3+6x^2+2x-4=0\ \ \ |*(-1)` 

`\ \ \ \ x^4+x^3-6x^2-2x+4=0` 

`\ \ \ \ x^4+x^3-4x^2-2x^2-2x+4=0`  

`\ \ \ \ x^4+x^3-4x^2+4-2x^2-2x=0`    

`\ \ \ \ x^3(x+1)-4(x^2-1)-2x(x+1)=0` 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`\ \ \ \ x^3(x+1)-4(x-1)(x+1)-2x(x+1)=0` 

Wyciągamy (x+1) przed nawias:

`\ \ \ \ (x+1)(x^3-4(x-1)-2x)=0` 

`\ \ \ \ (x+1)(x^3-4x+4-2x)=0` 

`\ \ \ \ (x+1)#underbrace((x^3-6x+4))_(w(x))=0`  

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 4. Dzielniki 4 to -4, -2, -1, 1, 2, 4. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w:

 `w(1)=1^3-6*1+4=1-6+4=-1ne0` 

`w(2)=2^3-6*2+4=8-12+4=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x+1)(x-2)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ 2x\ -\ 2))_(Delta=2^2-4*1*(-2)=))_(=4+8=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(-2-2sqrt3)/2=-1-sqrt3))_(x_2=-1+sqrt3)=0` 

`(x+1)(x-2)(x+1+sqrt3)(x+1-sqrt3)=0` 

`x=-1notin (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=2notin (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=#(-1-sqrt3)^(^(~~-1-1,73=-2,73))in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=#(-1+sqrt3)^(^(~~-1+1,73=0,73))in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

 

W zadanym przedziale mamy więc dwa rozwiązania: 

`ul(ul(x =-1-sqrt3))\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ ul(ul(x=-1+sqrt3))`  

 

 

 

`2)\ \ \ \ x in <<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)`  

`\ \ \ \ |x^3-x^2-2x|=x^4-5x^2+4 ` 

`\ \ \ \ x^3-x^2-2x=x^4-5x^2+4\ \ \ \ \ \ |-x^4+5x^2-4` 

`\ \ \ \ #underbrace(-x^4+x^3+4x^2-2x-4)_(u(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu u jest równy -4. Dzielniki -4 to -4, -2, -1, 1, 2, 4. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu u:

`u(1)=-1^4+1^3+4*1^2-2*1-4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-1+1+4-2-4=-2ne0` 

`u(2)=-2^4+2^3+4*2^2-2*2-4=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =-16+8+4*4-4-4=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =-16+8+16-8=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-2)(-x^3-x^2+2x+2)=0\ \ \ \ |*(-1)` 

`(x-2)(x^3+x^2-2x-2)=0` 

`(x-2)(x^2(x+1)-2(x+1))=0` 

`(x-2)(x+1)(x^2-2)=0` 

`(x-2)(x+1)(x-sqrt2)(x+sqrt2)=0`  

`x=2in<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-1in<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=#(sqrt2)^(^(~~1,41))notin<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=#(-sqrt2)^(^(~~-1,41))notin<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)` 

   

W zadanym przedziale mamy więc dwa rozwiązania: 

`ul(ul(x =2))\ \ \ "lub"\ \ \ ul(ul(x=-1))` 

 

Mamy więc cztery puntky przecięcia wykresów funkcji f oraz g, uporządkujmy je rosnąco. 

`x=-1-sqrt3,\ \ \ \ x=-1,\ \ \ \ x=-1+sqrt3,\ \ \ \ x=2` 

 

Możemy teraz odczytać zbiór rozwiązań nierówności: 

`f(x)>g(x)\ \ \ <=>\ \ \ x in (-1-sqrt3;\ -1)uu(-1+sqrt3;\ 2)` 

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Odejmowanie ułamków zwykłych
  1. Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$5/6-2/6= 3/6= {3÷3}/{6÷3}=1/2$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku odejmowania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości.
    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

  2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy odejmowanie.

    Przykład:

    • $$3/{10}- 1/5=3/{10}- {1•2}/{5•2}=3/{10}- 2/{10}=1/{10}$$
       
  3. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= {2•3+1}/3-{1•3+1}/3=7/3-4/3=3/3=1$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= 2 + 1/3- 1 - 1/3= 2 – 1 + 1/3- 1/3= 1 + 0 = 1$$
       
  4. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/2= {2•3+1}/3-{1•2+1}/2=7/3-3/2={7•2}/{3•2}-{3•3}/{2•3}={14}/6-9/6=5/6$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/2- 1 1/3= 2 + 1/2- 1 - 1/3= 2 - 1 + 1/2-1/3= 1 +{1•3}/{2•3}-{1•2}/{3•2}= 1 + 3/6- 2/6= 1 + 1/6= 1 1/6$$
 
Pole prostokąta

Liczbę kwadratów jednostkowych potrzebnych do wypełnienia danego prostokąta nazywamy polem prostokąta.


Prostokąt o bokach długości a i b ma pole równe: $$P = a•b$$.

pole prostokąta

W szczególności: pole kwadratu o boku długości a możemy policzyć ze wzoru: $$P=a•a=a^2$$.

  Zapamiętaj

Przed policzeniem pola prostokąta pamiętaj, aby sprawdzić, czy boki prostokąta są wyrażone w takich samych jednostkach.

Przykład:

  • Oblicz pole prostokąta o bokach długości 2 cm i 4 cm.

    $$ P=2 cm•4 cm=8 cm^2 $$
    Pole tego prostokąta jest równe 8 $$cm^2$$.

Zobacz także
Udostępnij zadanie