$\underline{\underline{\text{pierwsza wersja dowodu}}}$  

Pierwsza wersja jest mniej formalna, ale dobrze pokazuje, o co chodzi :)

Zapiszmy wielomian w(x):

$w\left(x\right)=a_{\stackrel{n}{}}{x}^n+a_{\stackrel{n-1}{}}{x}^{n-1}+a_{\stackrel{n-2}{}}{x}^{n-2}+\dots +a_{\stackrel{3}{}}{x}^3+a_{\stackrel{2}{}}{x}^2+a_{\stackrel{1}{}}{x}^1+a_{\stackrel{0}{}}$  

Wiemy, że liczba -1 podniesiona do potęgi parzystej daje 1, a podniesiona do potęgi nieparzystej daje -1. Obliczmy więc wartość w(-1).

$w\left(-1\right)=a_{\stackrel{n}{}}\cdot {\left(-1\right)}^n+a_{\stackrel{n-1}{}}\cdot {\left(-1\right)}^{n-1}+a_{\stackrel{n-2}{}}\cdot {\left(-1\right)}^{n-2}+\dots +a_{\stackrel{3}{}}\cdot {\left(-1\right)}^3+a_{\stackrel{2}{}}\cdot {\left(-1\right)}^2+a_{\stackrel{1}{}}\cdot {\left(-1\right)}^1+a_{\stackrel{0}{}}$  

Jeśli n jest liczbą parzystą, to mamy:

$w\left(-1\right)=a_{\stackrel{n}{}}-a_{\stackrel{n-1}{}}+a_{\stackrel{n-2}{}}-\dots -a_{\stackrel{3}{}}+a_{\stackrel{2}{}}-a_{\stackrel{1}{}}+a_{\stackrel{0}{}}=$  

$=a_{\stackrel{n}{}}+a_{\stackrel{n-2}{}}+a_{\stackrel{2}{}}+a_{\stackrel{0}{}}-a_{\stackrel{n-1}{}}-a_{\stackrel{3}{}}-a_{\stackrel{1}{}}=$  

$=a_{\stackrel{n}{}}+a_{\stackrel{n-2}{}}+a_{\stackrel{2}{}}+a_{\stackrel{0}{}}-\left(a_{\stackrel{n-1}{}}+a_{\stackrel{3}{}}+a_{\stackrel{1}{}}\right)$